Номер 1258, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1258, страница 280.

1258. Представьте выражение x⁻² + x⁻¹ + x в виде произведения двух множителей, один из которых равен:

а) х;

б) х⁻¹;

в) х⁻².

a) $x^{-2}+x^{-1}+x=x·\left(x^{-3}+x^{-2}+1\right)$

б) $x^{-2}+x^{-1}+x=x^{-1}·\left(x^{-1}+1+x^2\right)x^\{-2\}+x^\{-1\}+x=x^\{-1\}\; \backslash cdot\; (x^\{-1\}+1+x^2)$

в) $x^{-2}+x^{-1}+x=x^{-2}\left(1+x+x^3\right)x^\{-2\}+x^\{-1\}+x=x^\{-2\}(1+x+x^3)$

Для того чтобы представить выражение $x^{-2} + x^{-1} + x$ в виде произведения двух множителей, необходимо вынести за скобки заданный множитель. Для этого каждый член исходного выражения делится на этот множитель, при этом используется свойство степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

а)
Требуется вынести за скобки множитель $x$. Для этого разделим каждый член выражения на $x$:
$x^{-2} + x^{-1} + x = x \cdot \left(\frac{x^{-2}}{x^1} + \frac{x^{-1}}{x^1} + \frac{x^1}{x^1}\right)$
Упростим выражение в скобках, вычитая показатели степеней:
$x \cdot (x^{-2-1} + x^{-1-1} + x^{1-1}) = x \cdot (x^{-3} + x^{-2} + x^0)$
Поскольку $x^0 = 1$, получаем итоговое произведение:
$x(x^{-3} + x^{-2} + 1)$
Ответ: $x(x^{-3} + x^{-2} + 1)$

б)
Требуется вынести за скобки множитель $x^{-1}$. Для этого разделим каждый член выражения на $x^{-1}$:
$x^{-2} + x^{-1} + x = x^{-1} \cdot \left(\frac{x^{-2}}{x^{-1}} + \frac{x^{-1}}{x^{-1}} + \frac{x^1}{x^{-1}}\right)$
Упростим выражение в скобках:
$x^{-1} \cdot (x^{-2-(-1)} + x^{-1-(-1)} + x^{1-(-1)}) = x^{-1} \cdot (x^{-2+1} + x^{-1+1} + x^{1+1}) = x^{-1} \cdot (x^{-1} + x^0 + x^2)$
Поскольку $x^0 = 1$, получаем итоговое произведение:
$x^{-1}(x^{-1} + 1 + x^2)$
Ответ: $x^{-1}(x^{-1} + 1 + x^2)$

в)
Требуется вынести за скобки множитель $x^{-2}$. Для этого разделим каждый член выражения на $x^{-2}$:
$x^{-2} + x^{-1} + x = x^{-2} \cdot \left(\frac{x^{-2}}{x^{-2}} + \frac{x^{-1}}{x^{-2}} + \frac{x^1}{x^{-2}}\right)$
Упростим выражение в скобках:
$x^{-2} \cdot (x^{-2-(-2)} + x^{-1-(-2)} + x^{1-(-2)}) = x^{-2} \cdot (x^{-2+2} + x^{-1+2} + x^{1+2}) = x^{-2} \cdot (x^0 + x^1 + x^3)$
Поскольку $x^0 = 1$, получаем итоговое произведение:
$x^{-2}(1 + x + x^3)$
Ответ: $x^{-2}(1 + x + x^3)$