Номер 1254, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1254, страница 280.

1254. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^{-1}+y^{-1}}{{\left(x+y\right)}^2}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}{{\left(x+y\right)}^2}=\frac{x+y}{xy{\left(x+y\right)}^2}= \\ =\frac{1}{xy\left(x+y\right)}=\frac{1}{x^{2}y+x{y}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a{b}^{-1}-a^{-1}b}{a^{-1}-b^{-1}}=\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{b}{a}}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{ab}}}{{\displaystyle \frac{b-a}{ab}}}= \\ =\frac{a^2-b^2}{ab}·\frac{ab}{-\left(a-b\right)}=-\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a-b}=-\left(a+b\right) \end{gathered}$$

а)

Исходное выражение: $$ \frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x + y)^2} $$

Сначала преобразуем числитель, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-1} = \frac{1}{a}$. $$ x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $$

Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $xy$: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy} $$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь: $$ \frac{\frac{x+y}{xy}}{(x + y)^2} $$

Это многоэтажная дробь, которую можно записать как деление числителя на знаменатель: $$ \frac{x+y}{xy} \div (x+y)^2 = \frac{x+y}{xy} \cdot \frac{1}{(x+y)^2} $$

Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$, учитывая, что $(x+y)^2 = (x+y)(x+y)$: $$ \frac{x+y}{xy(x+y)^2} = \frac{1}{xy(x+y)} $$

Ответ: $ \frac{1}{xy(x+y)} $

б)

Исходное выражение: $$ \frac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}} $$

Используя определение степени с отрицательным показателем ($a^{-1} = \frac{1}{a}$), преобразуем числитель и знаменатель.

Числитель: $$ ab^{-1} - a^{-1}b = a \cdot \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \cdot b = \frac{a}{b} - \frac{b}{a} $$ Приведем к общему знаменателю $ab$: $$ \frac{a \cdot a}{ab} - \frac{b \cdot b}{ab} = \frac{a^2 - b^2}{ab} $$

Знаменатель: $$ a^{-1} - b^{-1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} $$ Приведем к общему знаменателю $ab$: $$ \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b-a}{ab} $$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь: $$ \frac{\frac{a^2 - b^2}{ab}}{\frac{b-a}{ab}} $$

Разделим числитель на знаменатель, для этого умножим числитель на дробь, обратную знаменателю: $$ \frac{a^2 - b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{b-a} $$

Сократим общий множитель $ab$: $$ \frac{a^2 - b^2}{b-a} $$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$ \frac{(a-b)(a+b)}{b-a} $$

Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Подставим это в знаменатель и сократим дробь на $(a-b)$: $$ \frac{(a-b)(a+b)}{-(a-b)} = -(a+b) $$

Ответ: $ -(a+b) $