Номер 1276, страница 282 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1276, страница 282.

1276. Решите уравнение х² – 2х + у² – 4у + 5 = 0.

$$\begin{gathered} x^2-2x+y^2-4y+5=0 \\ \left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)=0 \\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=0 \end{gathered}$$

Два числа в сумме дают 0 только, когда они либо противоположные, либо оба равны 0. В нашем случае ${\left(x-1\right)}^2$ и ${\left(y-2\right)}^2$ противоположными быть не могут. Значит, они оба равны 0.

$\begin{array}{ll}{\left(x-1\right)}^2=0 \text{и}& {\left(y-2\right)}^2=0\\ x=1& y=2\end{array}$

Ответ: x=1, y=2

Для решения данного уравнения $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5 = 0$ воспользуемся методом выделения полного квадрата для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$:

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 5 = 0$

Теперь дополним каждую группу до полного квадрата, используя формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для выражения $(x^2 - 2x)$, чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить и вычесть $(\frac{2}{2})^2 = 1^2 = 1$.

$x^2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)^2 - 1$

Для выражения $(y^2 - 4y)$, чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить и вычесть $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$.

$y^2 - 4y + 4 - 4 = (y - 2)^2 - 4$

Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$((x - 1)^2 - 1) + ((y - 2)^2 - 4) + 5 = 0$

Упростим, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 1 - 4 + 5 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 0$

Мы получили уравнение, в левой части которого находится сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$ и $(y - 2)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю.

Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} (x - 1)^2 = 0 \\ (y - 2)^2 = 0 \end{cases}$

Решая эту систему, находим значения $x$ и $y$:

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

$y - 2 = 0 \implies y = 2$

Таким образом, уравнение имеет единственное решение — пару чисел $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$.