Номер 1301, страница 284 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1301, страница 284.

1301. Из А в В и из В в А выехали одновременно два мотоциклиста. Первый прибыл в В через 2,5 ч после встречи, а второй прибыл в А через 1,6 ч после встречи. Сколько часов был в пути каждый мотоциклист?

Примем путь от А до В за 1.

t - время, которое ехал каждый велосипедист до встречи

$V_1=\frac{1}{t+\mathrm{2,5}}$ км/ч - скорость первого мотоциклиста

$V_2=\frac{1}{t+\mathrm{1,6}}V\_2=\backslash frac\{1\}\{t+1,6\}$ км/ч - скорость второго мотоциклиста

$$\begin{gathered} \left(V_1+V_2\right)t=1 \\ {V}_1+V_2=\frac{1}{t} \\ \frac{1}{t+\mathrm{2,5}}+\frac{1}{t+\mathrm{1,6}}=\frac{1}{t} \\ t\left(t+\mathrm{1,6}\right)+t\left(t+\mathrm{2,5}\right)=\left(t+\mathrm{2,5}\right)\left(t+\mathrm{1,6}\right) \\ {t}^2+\mathrm{1,6}t+t^2+\mathrm{2,5}t=t^2+\mathrm{1,6}t+\mathrm{2,5}t+4 \\ 2t^2-t^2=4 \\ {t}^2=4 \end{gathered}$$

$t=2$ или - не удовлетворяет условию задачи t>0

2+2,5=4,5(ч) - первый велосипедист

2+1,6=3,6(ч) - второй велосипедист

Ответ: 4,5ч, 3,6ч

Пусть $v_1$ — скорость первого мотоциклиста (из А в В), а $v_2$ — скорость второго мотоциклиста (из В в А). Пусть $t$ — время, которое они ехали от начала движения до встречи.

До момента встречи первый мотоциклист проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t$. Второй мотоциклист до встречи проехал расстояние $S_2 = v_2 \cdot t$.

После встречи первому мотоциклисту, чтобы добраться до пункта В, осталось проехать расстояние $S_2$. По условию задачи, он затратил на это $t_1 = 2,5$ часа. Таким образом, можно записать:

$S_2 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot 2,5$

Второму мотоциклисту после встречи, чтобы добраться до пункта А, осталось проехать расстояние $S_1$. Он затратил на это $t_2 = 1,6$ часа. Таким образом:

$S_1 = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot 1,6$

Теперь мы можем сопоставить выражения для расстояний $S_1$ и $S_2$:

$v_1 \cdot t = S_1 = v_2 \cdot 1,6$

$v_2 \cdot t = S_2 = v_1 \cdot 2,5$

Из этих двух уравнений выразим отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$:

Из первого уравнения: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1,6}{t}$

Из второго уравнения: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{2,5}$

Так как левые части обоих выражений равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{1,6}{t} = \frac{t}{2,5}$

Решим это уравнение относительно $t$:

$t^2 = 1,6 \cdot 2,5$

$t^2 = 4$

$t = \sqrt{4} = 2$ часа.

Итак, время от старта до встречи составило 2 часа. Теперь найдем полное время в пути для каждого мотоциклиста.

Полное время в пути первого мотоциклиста равно времени до встречи плюс время после встречи до прибытия в B:

$T_1 = t + t_1 = 2 + 2,5 = 4,5$ часа.

Полное время в пути второго мотоциклиста равно времени до встречи плюс время после встречи до прибытия в А:

$T_2 = t + t_2 = 2 + 1,6 = 3,6$ часа.

Ответ: первый мотоциклист был в пути 4,5 часа, второй мотоциклист был в пути 3,6 часа.