Страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1332. Артель выполнила работу за 20 дней. Если бы в артели было на 4 человека больше и рабочий день увеличился бы на 1 ч, то работа была бы выполнена за 10 дней. Если бы в артели было на 1 человека меньше, а рабочий день сократился на 1 ч, то для выполнения работы потребовалось бы 30 дней. Сколько человек было в артели и какой продолжительности был у них рабочий день?

Пусть x человек было в артели, y ч – продолжительность рабочего дня, тогда xy – производительность артели (часть работы, которую они выполняли за 1 день).

Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}20xy=10\left(x+4\right)\left(y+1\right)\mathrm{/}:10\\ 20xy=30\left(x-1\right)\left(y-1\right)\mathrm{/}:0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}2xy=\left(x+4\right)\left(y+1\right)\\ 2xy=3\left(x-1\right)\left(y-1\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\left(x+4\right)\left(y+1\right)=3\left(x-1\right)\left(y-1\right)\\ 2xy=\left(x+4\right)\left(y+1\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy+x+4y+4=3\left(xy-x-y+1\right)\\ 2xy=\left(x+4\right)\left(y+1\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}3xy-3x-3y+3-xy-x-4y-4=0\\ 2xy=\left(x+4\right)\left(y+1\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}2xy-4x-7y-1=0\\ 2xy=\left(x+4\right)\left(y+1\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\left(x+4\right)\left(y+1\right)-4x-7y-1=0\\ 2xy=\left(x+4\right)\left(y+1\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy+x+4y+4-4x-7y-1=0\\ 2xy=xy+x+4y+4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy-3x-3y+3=0\\ 2xy-xy-x-4y-4=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=3x+3y-3\\ xy=x+4y+4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}3x+3y-3=x+4y+4\\ xy=x+4y+4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}2x-y-7=0\\ xy=x+4y+4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=2x-7\\ x\left(2x-7\right)=x+4\left(2x-7\right)+4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=2x-7\\ 2x^2-7x-x-8x+28-4=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=2x-7\\ 2x^2-16x+24=0\mathrm{/}:2\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=2x-7\\ x^2-8x+12=0\end{array}\right. \\ {x}^2-8x+12=0 \\ D={\left(-8\right)}^2-4·1·12=64-48=16 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{16}}{2}; x=\frac{8\pm 4}{2} \\ {x}_1=6; x_2=2 \end{gathered}$$

Если x=6, то y=2x-7=2*6-7=5,

если x=2, то y=2x-7=2*2-7=-3<0 - не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 6 человек, 5ч

Для решения задачи введем переменные: пусть $n$ – первоначальное количество человек в артели, а $h$ – первоначальная продолжительность рабочего дня в часах. Общий объем работы $W$ является постоянной величиной во всех трех сценариях. Объем работы рассчитывается как произведение количества работников, количества дней и продолжительности рабочего дня.

На основе условий задачи составим уравнения для общего объема работы $W$:

1. Первоначальные условия: работа выполнена за 20 дней.
$W = n \cdot h \cdot 20$

2. Второй сценарий: если работников на 4 больше ($n+4$), а рабочий день на 1 час длиннее ($h+1$), работа выполняется за 10 дней.
$W = (n + 4) \cdot (h + 1) \cdot 10$

3. Третий сценарий: если работников на 1 меньше ($n-1$), а рабочий день на 1 час короче ($h-1$), работа выполняется за 30 дней.
$W = (n - 1) \cdot (h - 1) \cdot 30$

Поскольку объем работы $W$ во всех случаях одинаков, мы можем приравнять правые части уравнений. Это позволит нам составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными $n$ и $h$:

$\begin{cases} 20nh = 10(n + 4)(h + 1) \\ 20nh = 30(n - 1)(h - 1) \end{cases}$

Упростим каждое уравнение системы. В первом уравнении разделим обе части на 10:

$2nh = (n + 4)(h + 1)$
$2nh = nh + n + 4h + 4$
$nh - n - 4h = 4$ (Уравнение I)

Во втором уравнении разделим обе части на 10:

$2nh = 3(n - 1)(h - 1)$
$2nh = 3(nh - n - h + 1)$
$2nh = 3nh - 3n - 3h + 3$
$nh - 3n - 3h = -3$ (Уравнение II)

Теперь у нас есть более простая система уравнений:
$\begin{cases} nh - n - 4h = 4 \\ nh - 3n - 3h = -3 \end{cases}$

Для решения системы вычтем Уравнение II из Уравнения I:

$(nh - n - 4h) - (nh - 3n - 3h) = 4 - (-3)$
$nh - n - 4h - nh + 3n + 3h = 4 + 3$
$2n - h = 7$

Из полученного линейного уравнения выразим $h$ через $n$:

$h = 2n - 7$

Подставим это выражение для $h$ в Уравнение I:

$n(2n - 7) - n - 4(2n - 7) = 4$
$2n^2 - 7n - n - 8n + 28 = 4$
$2n^2 - 16n + 24 = 0$

Разделим все члены этого квадратного уравнения на 2 для упрощения:

$n^2 - 8n + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Этим условиям удовлетворяют числа 6 и 2. Таким образом, корни уравнения:

$n_1 = 6$, $n_2 = 2$

Теперь найдем соответствующие значения для $h$ для каждого из найденных корней $n$, используя формулу $h = 2n - 7$:

1. Если $n = 6$, то $h = 2 \cdot 6 - 7 = 12 - 7 = 5$. Продолжительность рабочего дня в 5 часов является физически возможным и логичным значением.

2. Если $n = 2$, то $h = 2 \cdot 2 - 7 = 4 - 7 = -3$. Продолжительность рабочего дня не может быть отрицательной, поэтому это решение является посторонним и не соответствует условию задачи.

Таким образом, единственное верное решение: в артели было 6 человек, а рабочий день длился 5 часов.

Проведем проверку, подставив $n=6$ и $h=5$ в исходные условия:
Исходный объем работы: $6 \text{ чел.} \cdot 5 \text{ ч/день} \cdot 20 \text{ дней} = 600$ человеко-часов.
Сценарий 2: $(6+4) \text{ чел.} \cdot (5+1) \text{ ч/день} \cdot 10 \text{ дней} = 10 \cdot 6 \cdot 10 = 600$ человеко-часов.
Сценарий 3: $(6-1) \text{ чел.} \cdot (5-1) \text{ ч/день} \cdot 30 \text{ дней} = 5 \cdot 4 \cdot 30 = 600$ человеко-часов.
Все расчеты сходятся, что подтверждает правильность решения.

Ответ: в артели было 6 человек, и продолжительность их рабочего дня составляла 5 часов.

1333. Благодаря применению в фермерском хозяйстве новых технологий урожайность гречихи возросла на 4 ц с 1 га. В результате было собрано не 147 ц, как в прошлом году, а на 3 ц больше, хотя под гречиху отвели на 1 га меньше. Какова была урожайность гречихи с 1 га в прошлом и текущем годах и какая площадь была отведена в эти годы в фермерском хозяйстве под гречиху?

Пусть х ц/га - урожайность прошлого года, тогда (х+4)ц/га - урожайность текущего года, у га - площадь, отведённая под гречиху в прошлом году, (у-1)га - площадь, отведённая под гречиху в текущем году

Составим и решим систему уравнений

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}xy=147\\ \left(x+4\right)\left(y-1\right)=150\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}xy=147\\ xy-x+4y-4-150=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=147\\ 147-x+4y-154=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}xy=147\\ 4y-x-7=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=147\\ x=4y-7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\left(4y-7\right)y=147\\ x=4y-7\end{array}\right. \\ 4y^2-7y-147=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·4·\left(-147\right)=49+2352=2401 \\ y=\frac{7\pm \sqrt{2401}}{8}; y=\frac{7\pm 49}{8} \end{gathered}$$
$y_1=7; y_2=\frac{-42}{8}<0$ - не удовлетворяет условию задачи

Если y=7, то x=4y-7=4*7-7=21

21+4=25 (ц/га) - урожайность текущего года

7-1=6 (га) - площадь, отведённая под гречиху в текущем году

Ответ: 21ц/га, 25ц/га; 7га, 6га

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — урожайность гречихи в прошлом году (в центнерах с 1 гектара), а $S$ — площадь, отведенная под гречиху в прошлом году (в гектарах).

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. В прошлом году было собрано 147 ц гречихи. Это значит, что произведение урожайности на площадь равно 147:

$x \cdot S = 147$

2. В текущем году урожайность выросла на 4 ц/га и составила $(x + 4)$ ц/га. Площадь уменьшилась на 1 га и стала $(S - 1)$ га. Сбор урожая увеличился на 3 ц по сравнению с прошлым годом и составил $147 + 3 = 150$ ц. Отсюда второе уравнение:

$(x + 4)(S - 1) = 150$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} xS = 147 \\ (x + 4)(S - 1) = 150 \end{cases}$

Выразим $S$ из первого уравнения: $S = \frac{147}{x}$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(x + 4)(\frac{147}{x} - 1) = 150$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x \cdot \frac{147}{x} - x \cdot 1 + 4 \cdot \frac{147}{x} - 4 \cdot 1 = 150$

$147 - x + \frac{588}{x} - 4 = 150$

$143 - x + \frac{588}{x} = 150$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду. Для этого перенесем все члены в левую часть и умножим на $x$ (поскольку урожайность $x$ не может быть равна нулю):

$-x + \frac{588}{x} - 7 = 0$

$-x^2 + 588 - 7x = 0$

Умножим обе части на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 + 7x - 588 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-588) = 49 + 2352 = 2401$

Так как $\sqrt{2401} = 49$, корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-7 + 49}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{-7 - 49}{2} = \frac{-56}{2} = -28$

Урожайность не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -28$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, урожайность в прошлом году составляла $x = 21$ ц/га.

Теперь мы можем найти все остальные искомые величины.

Урожайность гречихи с 1 га в прошлом и текущем годах

Урожайность в прошлом году составляла $21$ ц/га.

Урожайность в текущем году выросла на 4 ц/га: $21 + 4 = 25$ ц/га.

Ответ: урожайность гречихи в прошлом году составляла 21 ц/га, а в текущем — 25 ц/га.

Площадь, отведенная в эти годы в фермерском хозяйстве под гречиху

Площадь под гречихой в прошлом году: $S = \frac{147}{x} = \frac{147}{21} = 7$ га.

Площадь под гречихой в текущем году была на 1 га меньше: $7 - 1 = 6$ га.

Ответ: площадь под гречиху в прошлом году составляла 7 га, а в текущем — 6 га.

1334. (Задача Безу, XVIII в.) Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этом он потерял столько процентов, сколько стоила ему лошадь. За какую сумму он её купил?

см. решение №759

Пусть $x$ — это первоначальная стоимость лошади в пистолях.

Согласно условию задачи, продавец потерял $x$ процентов от первоначальной стоимости. Величина этой потери в пистолях составляет $x$ процентов от $x$, то есть:

$Потеря = x \cdot \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$ пистолей.

Цена продажи формируется как разница между первоначальной стоимостью и суммой потери. По условию, цена продажи равна 24 пистолям. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$x - \frac{x^2}{100} = 24$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 100, чтобы избавиться от дроби, и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$100x - x^2 = 2400$

$x^2 - 100x + 2400 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-(-100) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 + 20}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-(-100) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 - 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Мы получили два возможных значения первоначальной стоимости лошади. Проверим оба варианта:

• Если первоначальная цена была 40 пистолей, то потеря составила 40%. Сумма потери: $40 \cdot \frac{40}{100} = 16$ пистолей. Цена продажи: $40 - 16 = 24$ пистоля. Этот вариант соответствует условию задачи.
• Если первоначальная цена была 60 пистолей, то потеря составила 60%. Сумма потери: $60 \cdot \frac{60}{100} = 36$ пистолей. Цена продажи: $60 - 36 = 24$ пистоля. Этот вариант также соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: некто купил лошадь за 40 или за 60 пистолей.

1335. Положив в банк 2000 р., вкладчик получил через два года 2420 р. Какой процент начислял банк ежегодно?

Пусть х% банк начислял ежегодно, тогда $2000+\frac{x}{100}·2000=\left(2000+20x\right)\text{p.}$ получит вкладчик через год и $2000+20x+\frac{x}{100}\left(2000+20x\right)\text{p}\mathrm{.}$ получит вкладчик через два года. Зная, что через два года он получил 2420р., составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 2000+20x+\frac{x}{100}\left(2000+20x\right)=2420 \\ 2000+20x+20x+02x^2=2420 \\ 0,2x^2+40x+2000-2420=0 \\ 0,2x^2+40x-420=0 \mathrm{/}·10 \\ 2x^2+400x-4200=0 \mathrm{/}:2 \\ {x}^2+200x-2100=0 \\ D=200^2-4·1·\left(-2100\right)=40000+8400=48400 \\ x=\frac{-200\pm \sqrt{48400}}{2}; x=\frac{200\pm 220}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10; x_2=-210<0$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 10%

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов, которая описывает, как изменяется сумма на вкладе с течением времени при ежегодном начислении процентов.

Формула сложных процентов выглядит так:

$S = P \cdot (1 + r)^n$

где:
$S$ — итоговая сумма на вкладе (2420 р.),
$P$ — первоначальная сумма вклада (2000 р.),
$r$ — годовая процентная ставка, выраженная в долях (искомая величина),
$n$ — количество лет (2 года).

Подставим известные значения в формулу:

$2420 = 2000 \cdot (1 + r)^2$

Чтобы найти $r$, решим это уравнение. Сначала разделим обе части уравнения на 2000:

$(1 + r)^2 = \frac{2420}{2000}$

Сократим дробь:

$(1 + r)^2 = \frac{242}{200} = \frac{121}{100} = 1.21$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как процентная ставка не может быть отрицательной, мы рассматриваем только положительный корень:

$1 + r = \sqrt{1.21}$
$1 + r = 1.1$

Теперь найдем $r$:

$r = 1.1 - 1$
$r = 0.1$

Мы нашли процентную ставку в виде десятичной дроби. Чтобы выразить ее в процентах, умножим это значение на 100:

$r_{\%} = 0.1 \cdot 100\% = 10\%$

Ответ: 10%.

1336. Вкладчик положил деньги в банк и получил через год 2220 р. Если бы вклад был на 200 р. больше, а банк выплачивал на 1% меньше, то вкладчик получил бы 2420 р. Какова была сумма вклада и какой процент выплачивал банк ежегодно?

Пусть х р - сумма вклада, у% - ежегодный годовой процент, тогда, зная, что через год он получил 2220р, составим уравнение: $x+\frac{y}{100}x=2220.$ Если бы вклад был (x+200)р, а годовой процент был (у-1)%, то вкладчик бы получил 2420р. Составим уравнение: $x+200+\frac{y-1}{100}\left(x+200\right)=2420x+200+\backslash frac\{y-1\}\{100\}\; (x+200)=2420$

Получили систему уравнений

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+\frac{y}{100}x=2220\\ x+200+\frac{y-1}{100}\left(x+200\right)=2420\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x\left(1+\frac{y}{100}\right)=2220\\ \left(x+200\right)\left(1+\frac{y-1}{100}\right)=2420\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x·\frac{100+y}{100}=2220\\ \left(x+200\right)·\frac{100+y-1}{100}=2420\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2220:\frac{100+y}{100}\\ \left(x+200\right)·\frac{99+y}{100}=2420\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2220·100}{100+y}\\ \left(\frac{222000}{100+y}+200\right)\left(99+y\right)=242000\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{222000}{100+y}\\ \frac{222000+200\left(100+y\right)}{100+y}·\left(99+y\right)=242000\end{array}\right. \\ 200\left(1110+100+y\right)\left(99+y\right)-242000\left(100+y\right) \\ \left(1210+y\right)\left(99+y\right)=1210\left(100+y\right) \\ 119790+1210y+99y+y^2=121000+1210y \\ {y}^2+99y+119790-121000=0 \\ {y}^2+99y-1210=0 \\ D=99^2-4·1·\left(-1210\right)=9801+4840=14641 \\ y=\frac{-99\pm \sqrt{14641}}{2}; y=\frac{-99\pm 121}{2} \end{gathered}$$

$y_1=11; y_2=\frac{-220}{2}=-110<0$ -не удовлетворяет условию задачи y>0

$\left\{\begin{array}{l}y=11\\ x=\frac{222000}{100+11}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=11\\ x=\frac{222000}{111}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=11\\ x=2000\end{array}\right.$

Ответ: 2000р., 11%

Обозначим начальную сумму вклада как $S$ (в рублях), а годовую процентную ставку банка как $p$ (в процентах).

Сумма, которую вкладчик получает через год, вычисляется по формуле:$A = S \cdot (1 + \frac{p}{100})$, где $A$ — итоговая сумма.

Исходя из первого условия задачи, вкладчик получил 2220 рублей. Составим первое уравнение:$S \cdot (1 + \frac{p}{100}) = 2220$

Согласно второму условию, если бы вклад был на 200 рублей больше (то есть $S + 200$), а процентная ставка на 1% меньше (то есть $p - 1$), то итоговая сумма составила бы 2420 рублей. Составим второе уравнение:$(S + 200) \cdot (1 + \frac{p - 1}{100}) = 2420$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$$ \begin{cases} S(1 + \frac{p}{100}) = 2220 \\ (S + 200)(1 + \frac{p - 1}{100}) = 2420 \end{cases} $$

Для удобства введем замену: пусть $k = 1 + \frac{p}{100}$. Тогда процентная ставка в долях равна $k - 1$.Второе уравнение можно переписать, используя $k$:$1 + \frac{p - 1}{100} = 1 + \frac{p}{100} - \frac{1}{100} = (1 + \frac{p}{100}) - 0.01 = k - 0.01$.

Теперь система уравнений выглядит так:$$ \begin{cases} S \cdot k = 2220 \\ (S + 200)(k - 0.01) = 2420 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $S$: $S = \frac{2220}{k}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:$(\frac{2220}{k} + 200)(k - 0.01) = 2420$

Приведем выражение в первых скобках к общему знаменателю:$(\frac{2220 + 200k}{k})(k - 0.01) = 2420$

Умножим обе части уравнения на $k$ (при условии, что $k \neq 0$, что верно, так как итоговая сумма больше начальной):$(2220 + 200k)(k - 0.01) = 2420k$

Раскроем скобки в левой части:$2220k - 2220 \cdot 0.01 + 200k^2 - 200k \cdot 0.01 = 2420k$$2220k - 22.2 + 200k^2 - 2k = 2420k$

Приведем подобные слагаемые:$200k^2 + 2218k - 22.2 = 2420k$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:$200k^2 + 2218k - 2420k - 22.2 = 0$$200k^2 - 202k - 22.2 = 0$

Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби, а затем разделим на 2 для упрощения:$2000k^2 - 2020k - 222 = 0$$1000k^2 - 1010k - 111 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $k$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-1010)^2 - 4 \cdot 1000 \cdot (-111) = 1020100 + 444000 = 1464100$$\sqrt{D} = \sqrt{1464100} = 1210$

Найдем корни уравнения:$k_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1010 + 1210}{2 \cdot 1000} = \frac{2220}{2000} = 1.11$$k_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1010 - 1210}{2 \cdot 1000} = \frac{-200}{2000} = -0.1$

Поскольку $k = 1 + \frac{p}{100}$ и процентная ставка $p$ должна быть положительной (сумма вклада увеличилась), то коэффициент $k$ должен быть больше 1. Следовательно, корень $k_2 = -0.1$ является посторонним.Принимаем $k = 1.11$.

Теперь найдем процентную ставку $p$:$1 + \frac{p}{100} = 1.11$$\frac{p}{100} = 1.11 - 1 = 0.11$$p = 0.11 \cdot 100 = 11$Таким образом, банк выплачивал 11% годовых.

Наконец, найдем первоначальную сумму вклада $S$:$S = \frac{2220}{k} = \frac{2220}{1.11} = \frac{222000}{111} = 2000$Таким образом, первоначальная сумма вклада составляла 2000 рублей.

Проверим правильность решения, подставив найденные значения во второе условие: вклад $2000 + 200 = 2200$ р., ставка $11\% - 1\% = 10\%$.Итоговая сумма: $2200 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 2200 \cdot 1.1 = 2420$ р. Условие выполняется.

Ответ: первоначальная сумма вклада составляла 2000 рублей, а банк выплачивал 11% ежегодно.

1337. Фирма ежегодно увеличивала количество выпускаемых приборов на одно и то же число процентов. В результате за два года количество выпускаемых приборов удвоилось. Сколько процентов составлял ежегодный прирост числа выпускаемых приборов?

Пусть х% - ежегодный прирост числа выпускаемых приборов, у-число выпускаемых приборов. Зная, что за два года количество выпускаемых приборов удвоилось, составим и решим уравнение:

$y+\frac{x}{100}y+\frac{x}{100}\left(y+\frac{x}{100}y\right)=2yy+\backslash frac\{x\}\{100\}\; y+\backslash frac\{x\}\{100\}\; (y+\backslash frac\{x\}\{100\}\; y)=2y$, где $y+\frac{x}{100}y$ - количество выпускаемых приборов стало через год.

$$\begin{gathered} \left(y+\frac{xy}{100}\right)\left(1+\frac{x}{100}\right)=2y \\ y\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{x}{100}\right)=2y /:y\ne 0 \\ {\left(1+\frac{x}{100}\right)}^2=2 \\ 1+\frac{2x}{100}+\frac{x^2}{10000}=2 \\ \frac{x^2}{100000}+\frac{2x}{100}-1=0 \\ \frac{x}{100}=t,\frac{x^2}{10000}=t^2 \\ {t}^2+2t-1=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-1\right)=4+4=8 \\ t=\frac{-2\pm \sqrt{8}}{2}; t=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2} \\ t=-1\pm \sqrt{2} \end{gathered}$$

$t_1=\sqrt{2}-1,t_2=-1-\sqrt{2}<0$- не удовлетворяет условию задачи t>0

$$\begin{gathered} \frac{x}{100}=\sqrt{2}-1\backslash frac\{x\}\{100\}=\backslash sqrt\{2\}\; -\; 1 \\ x=100\left(\sqrt{2}-1\right)x=100(\backslash sqrt\{2\}\; -\; 1) \\ x\approx 41\mathrm{\%}x\; \backslash approx\; 41\backslash \% \end{gathered}$$

Ответ: ≈41%

Пусть начальное количество выпускаемых приборов равно $A_0$, а ежегодный прирост составляет $p$ процентов. Тогда каждый год количество приборов умножается на коэффициент $k$, который равен:

$k = 1 + \frac{p}{100}$

Через год количество приборов станет $A_1 = A_0 \cdot k$.

Еще через год, то есть по истечении двух лет, количество приборов станет $A_2 = A_1 \cdot k = (A_0 \cdot k) \cdot k = A_0 \cdot k^2$.

Согласно условию задачи, за два года количество приборов удвоилось, это означает, что $A_2 = 2 \cdot A_0$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для $A_2$:

$A_0 \cdot k^2 = 2 \cdot A_0$

Поскольку начальное количество приборов $A_0$ не равно нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $A_0$:

$k^2 = 2$

Так как коэффициент $k$ представляет собой множитель увеличения, он должен быть положительным. Извлекаем арифметический квадратный корень:

$k = \sqrt{2}$

Теперь, зная коэффициент $k$, найдем искомый процент прироста $p$ из соотношения $k = 1 + \frac{p}{100}$:

$\sqrt{2} = 1 + \frac{p}{100}$

Выразим отсюда $p$:

$\frac{p}{100} = \sqrt{2} - 1$

$p = 100(\sqrt{2} - 1)$

Это точное значение. Для получения численного ответа можно использовать приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.4142$:

$p \approx 100(1.4142 - 1) = 100 \cdot 0.4142 = 41.42$

Таким образом, ежегодный прирост составлял $100(\sqrt{2} - 1)\%$.

Ответ: Ежегодный прирост составлял $100(\sqrt{2}-1)\%$, что приблизительно равно $41.4\%$.

1338. Бассейн наполнится, если первую трубу открыть на 12 мин, а вторую — на 7 мин. Если же обе трубы открыть на 6 мин, то наполнится 23 бассейна. За сколько минут наполнится бассейн, если открыть только вторую трубу?

1) $\frac{2}{3}:6=\frac{2}{3·6}=\frac{1}{9}$ - общая производительность (скорость) двух труб.

2) Пусть x - производительность (скорость) второй трубы, тогда $\left(\frac{1}{9}-x\right)(\backslash frac\{1\}\{9\}\; -\; x)$ - производительность (скорость) первой трубы. Зная, что, если открыть на 12мин первую трубу и на 7мин вторую, то бассейн наполнится. Составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} 12·\left(\frac{1}{9}-x\right)+7x=1 \\ \frac{4}{3}-12x+7x=1 \\ \frac{4}{3}-5x=1 \\ 5x=\frac{1}{3} \\ x=\frac{1}{3}:5 \\ x=\frac{1}{15} \end{gathered}$$

3) $1:\frac{1}{15}=1·15=15$(мин)

Ответ: за 15 мин

Пусть $v_1$ — это производительность первой трубы (часть бассейна, наполняемая за минуту), а $v_2$ — производительность второй трубы. Весь объем бассейна примем за 1.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: «Бассейн наполнится, если первую трубу открыть на 12 мин, а вторую — на 7 мин». Это можно записать в виде уравнения:
$12v_1 + 7v_2 = 1$

Второе условие: «Если же обе трубы открыть на 6 мин, то наполнится $\frac{2}{3}$ бассейна». Это соответствует уравнению:
$6v_1 + 6v_2 = \frac{2}{3}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} 12v_1 + 7v_2 = 1 \\ 6v_1 + 6v_2 = \frac{2}{3} \end{cases}$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 6:
$v_1 + v_2 = \frac{2}{3 \cdot 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Из упрощенного второго уравнения выразим $v_1$:
$v_1 = \frac{1}{9} - v_2$

Подставим это выражение для $v_1$ в первое уравнение системы:
$12 \left( \frac{1}{9} - v_2 \right) + 7v_2 = 1$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_2$:
$\frac{12}{9} - 12v_2 + 7v_2 = 1$
$\frac{4}{3} - 5v_2 = 1$
$5v_2 = \frac{4}{3} - 1$
$5v_2 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3}$
$5v_2 = \frac{1}{3}$
$v_2 = \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15}$

Таким образом, производительность второй трубы составляет $\frac{1}{15}$ бассейна в минуту. Это означает, что вторая труба в одиночку наполняет $\frac{1}{15}$ часть бассейна за одну минуту.

Чтобы найти время $T_2$, за которое вторая труба наполнит весь бассейн (объем которого равен 1), нужно разделить объем на производительность:
$T_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15$ минут.

Ответ: 15 минут.

1339. Один каменщик может выложить стену на 6 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они за 2 ч выложат половину стены. За сколько часов каждый из них может выложить стену?

Пусть первый каменщик выкладывает стену за x, тогда второй за (x+6)ч. Зная, что при совместной работе они за 2ч выложат половину стены, найдем их общую производительность $\frac{1}{2}:2=\frac{1}{4}$

$\frac{1}{x}$- производительность первого каменщика;

$\frac{1}{x+6}\backslash frac\{1\}\{x+6\}$ - производительность второго каменщика

Составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}=\frac{1}{4} /·4x\left(x+6\right) \\ 4\left(x+6\right)+4x=x\left(x+6\right) \\ 4x+24+4x=x^2+6x \\ {x}^2+6x-8x-24=0 \\ {x}^2-2x-24=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-24\right)=4+96=100 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{100}}{2}; x=\frac{2\pm 10}{2} \end{gathered}$$

$x_1=6; x_2=-4<0$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

6+6=12(ч) - второй каменщик выложит стену

Ответ: 6ч, 12ч

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это время в часах, за которое первый (более быстрый) каменщик может выложить всю стену.

Согласно условию, один каменщик может выложить стену на 6 часов быстрее, чем другой. Следовательно, второй (более медленный) каменщик выложит стену за $x + 6$ часов.

Производительность труда (скорость выполнения работы) первого каменщика составляет $\frac{1}{x}$ часть стены в час, а производительность второго — $\frac{1}{x+6}$ часть стены в час.

При совместной работе их производительности складываются. Общая производительность равна:

$P_{общ} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}$

В задаче сказано, что при совместной работе они за 2 часа выложат половину стены ($\frac{1}{2}$ всей работы). Объем работы равен произведению производительности на время. На основе этого составим уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}) \cdot 2 = \frac{1}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала разделим обе части на 2:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+6)$:

$\frac{x+6+x}{x(x+6)} = \frac{1}{4}$

$\frac{2x+6}{x^2+6x} = \frac{1}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей. Область допустимых значений: $x > 0$.

$4(2x+6) = 1(x^2+6x)$

$8x + 24 = x^2 + 6x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 6x - 8x - 24 = 0$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать формулу для корней или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -24. Корни: 6 и -4. Проверим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 10}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -4$ не является решением задачи.

Следовательно, время, за которое первый каменщик выкладывает стену, равно $x = 6$ часов.

Время второго каменщика равно $x + 6 = 6 + 6 = 12$ часов.

Таким образом, один каменщик может выложить стену за 6 часов, а другой — за 12 часов.

Ответ: Один каменщик может выложить стену за 6 часов, а другой — за 12 часов.

1340. Расстояние в 360 км легковой автомобиль проехал на 2 ч быстрее, чем грузовой. Если скорость каждого автомобиля увеличить на 30 км/ч, то грузовой автомобиль затратит на весь путь на 1 ч больше, чем легковой. Найдите скорость каждого автомобиля.

Пусть x км/ч - скорость легкового автомобиля, y км/ч - скорость грузового автомобиля, тогда $\frac{360}{x}\text{ч}$ - время, потраченное на расстояние в 360км легковым автомобилем, а $\frac{360}{y}\text{ч}$ - время грузового автомобиля. Зная, что легковой автомобиль проехал на

2ч быстрее, составим уравнение $\frac{360}{y}-\frac{360}{x}=2\backslash frac\{360\}\{y\}\; -\; \backslash frac\{360\}\{x\}=2$

Если (x+30)км/ч, (у+30)км/ч - скорости легкового и грузового автомобилей соответственно, то $\frac{360}{x+30}\text{ч}$ и $\frac{360}{y+30}\text{ч}$ - их время, потраченное на путь в 360км. Зная, что грузовой автомобиль затратит на 1ч больше, составим уравнение: $\frac{360}{y+30}-\frac{360}{x+30}=1\backslash frac\{360\}\{y+30\}\; -\; \backslash frac\{360\}\{x+30\}=1$

Получим систему уравнений:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{360}{y}-\frac{360}{x}+2 /xy\\ \frac{360}{y+30}-\frac{360}{x+30}=1 /\left(y+30\right)\left(x+30\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}360x-360y=2xy\\ \left(360\left(x+30\right)-360\left(y+30\right)=(y+30\right)\left(x+30\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}360(x-y)2xy /:2\\ 360\left(x+30-y-30\right)=xy+30y+30x+900\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}180(x-y)=xy\\ 360\left(x-y\right)=180\left(x-y\right)+30y+30x+900\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}180(x-y)=xy\\ 360\left(x-y\right)-180\left(x-y\right)=30y+30x+900\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}180(x-y)=xy\\ 180\left(x-y\right)=30y+30x+900 /:30\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}180(x-y)=xy\\ 6\left(x-y\right)=y+x+30\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}180x-180y=xy\\ 6x-6y-y-x=30\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}180x-180y=xy\\ 5x-7y=30\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}5x=30+7y\\ 180x-180y=xy\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{30+7y}{5}\\ 180·\frac{30+7y}{5}-180y=\frac{30+7y}{5}·y\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{30+7y}{5}\\ 36(30+7y)-180y=\frac{\left(30+7y\right)y}{5}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{30+7y}{5}\\ 1080+252y-180y=\frac{\left(30+7y\right)y}{5}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{30+7y}{5}\\ 1080+72y=\frac{\left(30+7y\right)y}{5} /·5\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{30+7y}{5}\\ 1080·5+72·5y=\left(30+7y\right)y\end{array}\right. \\ 5400+360y=30y+7y^2 \\ 7y^2+30y-360y-5400=0 \\ 7y^2-330y-5400=0 \\ 7y^2-2·165y-5400=0 \\ {D}_1={\left(-165\right)}^2-7·\left(-5400\right)= \\ =27225+37800=65025 \\ y=\frac{165\pm \sqrt{65025}}{7}; y=\frac{165\pm 255}{7} \end{gathered}$$

$y_1=60; y_2=-\frac{90}{7}<0$ - не удовлетворяет условию задачи y>0

$\left\{\begin{array}{l}y=60\\ x=\frac{30+7·60}{5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=60\\ x=90\end{array}\right.$

Ответ: 90 км/ч, 60 км/ч

Пусть $x$ км/ч — первоначальная скорость грузового автомобиля, а $y$ км/ч — первоначальная скорость легкового автомобиля. Расстояние $S$ равно 360 км.

Время, которое затратил на путь грузовой автомобиль, составляет $t_{груз} = \frac{360}{x}$ ч.

Время, которое затратил на путь легковой автомобиль, составляет $t_{легк} = \frac{360}{y}$ ч.

Из первого условия известно, что легковой автомобиль проехал это расстояние на 2 часа быстрее, чем грузовой. Составим первое уравнение:

$t_{груз} - t_{легк} = 2$

$\frac{360}{x} - \frac{360}{y} = 2$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$\frac{180}{x} - \frac{180}{y} = 1$

Теперь рассмотрим второе условие. Если скорость каждого автомобиля увеличить на 30 км/ч, то новые скорости будут $(x + 30)$ км/ч для грузового и $(y + 30)$ км/ч для легкового. В этом случае грузовой автомобиль затратит на 1 час больше, чем легковой. Составим второе уравнение:

$\frac{360}{x+30} - \frac{360}{y+30} = 1$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{180}{x} - \frac{180}{y} = 1 \\ \frac{360}{x+30} - \frac{360}{y+30} = 1 \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{180y - 180x}{xy} = 1 \implies 180(y - x) = xy$

Преобразуем второе уравнение:

$\frac{360(y+30) - 360(x+30)}{(x+30)(y+30)} = 1$

$360(y - x) = (x+30)(y+30)$

$360(y - x) = xy + 30x + 30y + 900$

Теперь подставим выражение $xy = 180(y - x)$ из первого преобразованного уравнения во второе:

$360(y - x) = 180(y - x) + 30(x+y) + 900$

Перенесем слагаемое $180(y - x)$ в левую часть:

$180(y - x) = 30(x+y) + 900$

Разделим обе части уравнения на 30:

$6(y - x) = x+y + 30$

$6y - 6x = x + y + 30$

$5y - 7x = 30$

Отсюда выразим $y$ через $x$:

$5y = 7x + 30 \implies y = \frac{7x + 30}{5}$

Подставим это выражение для $y$ в уравнение $180(y - x) = xy$:

$180\left(\frac{7x+30}{5} - x\right) = x\left(\frac{7x+30}{5}\right)$

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от дроби:

$180(7x+30 - 5x) = x(7x+30)$

$180(2x+30) = 7x^2 + 30x$

$360x + 5400 = 7x^2 + 30x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$7x^2 - 330x - 5400 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-330)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-5400) = 108900 + 151200 = 260100$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{260100} = 510$.

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{330 + 510}{2 \cdot 7} = \frac{840}{14} = 60$

$x_2 = \frac{330 - 510}{2 \cdot 7} = \frac{-180}{14} < 0$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, единственное подходящее решение — $x=60$ км/ч. Это скорость грузового автомобиля.

Теперь найдем скорость легкового автомобиля $y$:

$y = \frac{7x + 30}{5} = \frac{7 \cdot 60 + 30}{5} = \frac{420 + 30}{5} = \frac{450}{5} = 90$

Скорость легкового автомобиля равна 90 км/ч.

Проверка:

1. Начальные условия: время грузовика $360/60=6$ ч, время легкового автомобиля $360/90=4$ ч. Разница $6 - 4 = 2$ ч, что соответствует условию.

2. После увеличения скорости: скорость грузовика $60+30=90$ км/ч, скорость легкового автомобиля $90+30=120$ км/ч. Время грузовика $360/90=4$ ч, время легкового $360/120=3$ ч. Разница $4 - 3 = 1$ ч, что также соответствует условию.

Ответ: скорость легкового автомобиля — 90 км/ч, скорость грузового автомобиля — 60 км/ч.