номер 1339, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1339. Один каменщик может выложить стену на 6 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они за 2 ч выложат половину стены. За сколько часов каждый из них может выложить стену?

Пусть первый каменщик выкладывает стену за x, тогда второй за (x+6)ч. Зная, что при совместной работе они за 2ч выложат половину стены, найдем их общую производительность $\frac{1}{2}:2=\frac{1}{4}$

$\frac{1}{x}$- производительность первого каменщика;

$\frac{1}{x+6}\backslash frac\{1\}\{x+6\}$ - производительность второго каменщика

Составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}=\frac{1}{4} /·4x\left(x+6\right) \\ 4\left(x+6\right)+4x=x\left(x+6\right) \\ 4x+24+4x=x^2+6x \\ {x}^2+6x-8x-24=0 \\ {x}^2-2x-24=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-24\right)=4+96=100 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{100}}{2}; x=\frac{2\pm 10}{2} \end{gathered}$$

$x_1=6; x_2=-4<0$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

6+6=12(ч) - второй каменщик выложит стену

Ответ: 6ч, 12ч

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это время в часах, за которое первый (более быстрый) каменщик может выложить всю стену.

Согласно условию, один каменщик может выложить стену на 6 часов быстрее, чем другой. Следовательно, второй (более медленный) каменщик выложит стену за $x + 6$ часов.

Производительность труда (скорость выполнения работы) первого каменщика составляет $\frac{1}{x}$ часть стены в час, а производительность второго — $\frac{1}{x+6}$ часть стены в час.

При совместной работе их производительности складываются. Общая производительность равна:

$P_{общ} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}$

В задаче сказано, что при совместной работе они за 2 часа выложат половину стены ($\frac{1}{2}$ всей работы). Объем работы равен произведению производительности на время. На основе этого составим уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}) \cdot 2 = \frac{1}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала разделим обе части на 2:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+6)$:

$\frac{x+6+x}{x(x+6)} = \frac{1}{4}$

$\frac{2x+6}{x^2+6x} = \frac{1}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей. Область допустимых значений: $x > 0$.

$4(2x+6) = 1(x^2+6x)$

$8x + 24 = x^2 + 6x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 6x - 8x - 24 = 0$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать формулу для корней или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -24. Корни: 6 и -4. Проверим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 10}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -4$ не является решением задачи.

Следовательно, время, за которое первый каменщик выкладывает стену, равно $x = 6$ часов.

Время второго каменщика равно $x + 6 = 6 + 6 = 12$ часов.

Таким образом, один каменщик может выложить стену за 6 часов, а другой — за 12 часов.

Ответ: Один каменщик может выложить стену за 6 часов, а другой — за 12 часов.