Номер 1338, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1338, страница 288.

1338. Бассейн наполнится, если первую трубу открыть на 12 мин, а вторую — на 7 мин. Если же обе трубы открыть на 6 мин, то наполнится 23 бассейна. За сколько минут наполнится бассейн, если открыть только вторую трубу?

1) $\frac{2}{3}:6=\frac{2}{3·6}=\frac{1}{9}$ - общая производительность (скорость) двух труб.

2) Пусть x - производительность (скорость) второй трубы, тогда $\left(\frac{1}{9}-x\right)(\backslash frac\{1\}\{9\}\; -\; x)$ - производительность (скорость) первой трубы. Зная, что, если открыть на 12мин первую трубу и на 7мин вторую, то бассейн наполнится. Составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} 12·\left(\frac{1}{9}-x\right)+7x=1 \\ \frac{4}{3}-12x+7x=1 \\ \frac{4}{3}-5x=1 \\ 5x=\frac{1}{3} \\ x=\frac{1}{3}:5 \\ x=\frac{1}{15} \end{gathered}$$

3) $1:\frac{1}{15}=1·15=15$(мин)

Ответ: за 15 мин

Пусть $v_1$ — это производительность первой трубы (часть бассейна, наполняемая за минуту), а $v_2$ — производительность второй трубы. Весь объем бассейна примем за 1.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: «Бассейн наполнится, если первую трубу открыть на 12 мин, а вторую — на 7 мин». Это можно записать в виде уравнения:
$12v_1 + 7v_2 = 1$

Второе условие: «Если же обе трубы открыть на 6 мин, то наполнится $\frac{2}{3}$ бассейна». Это соответствует уравнению:
$6v_1 + 6v_2 = \frac{2}{3}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} 12v_1 + 7v_2 = 1 \\ 6v_1 + 6v_2 = \frac{2}{3} \end{cases}$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 6:
$v_1 + v_2 = \frac{2}{3 \cdot 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Из упрощенного второго уравнения выразим $v_1$:
$v_1 = \frac{1}{9} - v_2$

Подставим это выражение для $v_1$ в первое уравнение системы:
$12 \left( \frac{1}{9} - v_2 \right) + 7v_2 = 1$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_2$:
$\frac{12}{9} - 12v_2 + 7v_2 = 1$
$\frac{4}{3} - 5v_2 = 1$
$5v_2 = \frac{4}{3} - 1$
$5v_2 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3}$
$5v_2 = \frac{1}{3}$
$v_2 = \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15}$

Таким образом, производительность второй трубы составляет $\frac{1}{15}$ бассейна в минуту. Это означает, что вторая труба в одиночку наполняет $\frac{1}{15}$ часть бассейна за одну минуту.

Чтобы найти время $T_2$, за которое вторая труба наполнит весь бассейн (объем которого равен 1), нужно разделить объем на производительность:
$T_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15$ минут.

Ответ: 15 минут.