Номер 1331, страница 287 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1331, страница 287.

1331. От пристани отправился первый катер. Через 1 ч вслед за ним отправился второй катер и догнал первый в 30 км от пристани. Если бы с момента отправления второго катера первый катер увеличил скорость на 10 км/ч, то второй догнал бы его в 90 км от пристани. Найдите скорость каждого катера.

Пусть x км/ч - скорость первого катера, y км/ч - скорость второго катера, тогда $\frac{30}{x}\text{ч}\backslash frac\{30\}\{x\}ч$ - время, которое потратил первый катер до момента, когда его догнал второй катер; $\frac{30}{y}\text{ч}$ - время второго катера. Зная, что второй катер отправился через 1ч после выхода первого, можно составить уравнение $\frac{30}{y}+1=\frac{30}{x}\left(1\right).$ Если бы с момента отправления второго катера первый катер увеличил скорость на 10км/ч, то (x+10)км/ч - его скорость, с которой он прошёл (90-x)км. Значит, время, потраченное на это расстояние равно $\frac{90-x}{x+10}\text{ч.}$ Но так как 1ч он шёл со скоростью x км/ч, то время, которое он потратил на 90км равно $\left(1+\frac{90-x}{x+10}\right)\text{ч}.$ Время, потраченное на расстояние 90км вторым катером равно $\frac{90}{y}\text{ч.}$ Зная, что второй катер вышел на 1ч позже первого, можно составить уравнение $1+\frac{90-x}{x+10}=1+\frac{90}{y}\left(2\right)1+\backslash frac\{90-x\}\{x+10\}=1+\backslash frac\{90\}\{y\}\; (2)$

Получили спестему уравнений

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{30}{y}+1=\frac{30}{x}\\ 1+\frac{90-x}{x+10}=1+\frac{90}{y}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}\frac{90-x}{x+10}=\frac{90}{y}\\ \frac{30}{x}-\frac{30}{y}=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=\frac{90\left(x+10\right)}{90-x}\\ 30\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{90\left(x+10\right)}{90-x}}\right)=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{90\left(x+10\right)}{90-x}\\ \frac{1}{x}-\frac{90-x}{90\left(x+10\right)}=\frac{1}{30}\end{array}\right. \\ \frac{1}{x}-\frac{90-x}{90\left(x+10\right)}=\frac{1}{30} /·90x(x+10)\ne 0 \\ 90\left(x+10\right)-x\left(90-x\right)=3x\left(x+10\right) \\ 90x+900-90x+x^2=3x^2+30x \\ 3x^2-x^2+30x-900=0 \\ 2x^2+30x-900=0 \mathrm{/}:2 \\ {x}^2+15x-450=0 \\ D=15^2-4·1·\left(-450\right)=225+1800=2025 \\ x=\frac{-15\pm \sqrt{2025}}{2}; x=\frac{-15\pm 45}{2} \end{gathered}$$
$x_1=15; x_2=-30<0$ - не удовлетворяет условию задачи $x>0x>0$

Если $x=15x=15$, то $y=\frac{90\left(x+10\right)}{90-x}=\frac{90\left(15+10\right)}{90-15}=\frac{90·25}{75}=\frac{90}{3}=30$

Ответ: 15 км/ч, 30 км/ч

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого катера, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго катера.

Рассмотрим первую ситуацию. Первый катер отправился на 1 час раньше второго, и второй догнал его на расстоянии 30 км от пристани. Время движения первого катера до встречи составляет $t_1 = \frac{30}{v_1}$ ч. Время движения второго катера — $t_2 = \frac{30}{v_2}$ ч. Так как первый катер был в пути на 1 час дольше, справедливо равенство $t_1 = t_2 + 1$. Подставив выражения для времени, получаем первое уравнение: $$ \frac{30}{v_1} = \frac{30}{v_2} + 1 $$

Рассмотрим вторую, гипотетическую ситуацию. Если бы с момента отправления второго катера скорость первого увеличилась на 10 км/ч, встреча произошла бы на расстоянии 90 км от пристани. За первый час (до старта второго катера) первый катер прошел бы расстояние $S_0 = v_1 \cdot 1 = v_1$ км. После этого его скорость стала бы $v_1' = v_1 + 10$ км/ч. Время, за которое второй катер дошел бы до точки встречи, равно $t' = \frac{90}{v_2}$ ч. За это же время первый катер, начав с отметки $v_1$ км, прошел бы оставшееся расстояние $(90 - v_1)$ км. Его время движения с новой скоростью составило бы $t' = \frac{90 - v_1}{v_1 + 10}$ ч. Приравнивая время, получаем второе уравнение: $$ \frac{90}{v_2} = \frac{90 - v_1}{v_1 + 10} $$

Теперь решим полученную систему уравнений: $$ \begin{cases} \frac{30}{v_1} = \frac{30}{v_2} + 1 \\ \frac{90}{v_2} = \frac{90 - v_1}{v_1 + 10} \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $\frac{30}{v_2}$: $$ \frac{30}{v_2} = \frac{30}{v_1} - 1 = \frac{30 - v_1}{v_1} $$ Второе уравнение можно переписать как $3 \cdot \frac{30}{v_2} = \frac{90 - v_1}{v_1 + 10}$. Подставим в него выражение для $\frac{30}{v_2}$: $$ 3 \left( \frac{30 - v_1}{v_1} \right) = \frac{90 - v_1}{v_1 + 10} $$ Решим это уравнение относительно $v_1$: $$ 3(30 - v_1)(v_1 + 10) = v_1(90 - v_1) \\ 3(30v_1 + 300 - v_1^2 - 10v_1) = 90v_1 - v_1^2 \\ 3(20v_1 - v_1^2 + 300) = 90v_1 - v_1^2 \\ 60v_1 - 3v_1^2 + 900 = 90v_1 - v_1^2 \\ 2v_1^2 + 30v_1 - 900 = 0 $$ Разделим все уравнение на 2: $$ v_1^2 + 15v_1 - 450 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 15^2 - 4(1)(-450) = 225 + 1800 = 2025 = 45^2$. $$ v_1 = \frac{-15 \pm \sqrt{2025}}{2} = \frac{-15 \pm 45}{2} $$ Получаем два корня: $v_{1,1} = \frac{-15 + 45}{2} = 15$ и $v_{1,2} = \frac{-15 - 45}{2} = -30$. Так как скорость не может быть отрицательной, физический смысл имеет только положительный корень: $v_1 = 15$ км/ч.
Теперь найдем $v_2$, подставив значение $v_1$ в выражение $\frac{30}{v_2} = \frac{30 - v_1}{v_1}$: $$ \frac{30}{v_2} = \frac{30 - 15}{15} = \frac{15}{15} = 1 $$ Отсюда следует, что $v_2 = 30$ км/ч.

Ответ: скорость первого катера — 15 км/ч, скорость второго катера — 30 км/ч.