Номер 1328, страница 287 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1328, страница 287.

1328. Найдите решения системы уравнений

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ {\left(x-y\right)}^2+x+y=10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2y=-2\\ x^2-2xy+y^2+x+y=10\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ x^2-2·\left(-2\right)+y^2+x+y=10\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ {\left(x+y\right)}^2-2xy+x+y+4=10\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ {\left(x+y\right)}^2-2·(-2)+(x+y)+4-10=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ {\left(x+y\right)}^2+\left(x+y\right)+4-6=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ {\left(x+y\right)}^2+\left(x+y\right)-2=0\end{array}\right. \\ x+y=t \\ {t}^2+t-2=0 \\ D=1^2-4·1·\left(-2\right)=1+8=9 \\ t=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}; t=\frac{-1\pm 3}{2} \\ {t}_1=1; t_2=-2 \\ \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ x+y=1\end{array}\right.\left(1\right)\text{ или }\left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ x+y=-2\end{array}\right.\left(2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}x=1-y\\ \left(1-y\right)y=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=1-y\\ y-y^2+2=0\end{array}\right. \\ {y}^2-y-2=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)=1+8=9 \\ y=\frac{1\pm \sqrt{9}}{2}; y=\frac{1\pm 3}{2} \\ {y}_1=2; y_2=-1 \end{gathered}$$

Если y=2, то x=1-y=1-2=-1,

если y=-1, то x=1-(-1)=2

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ x+y=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-2-y\\ \left(-2-y\right)y=-2\end{array}\right. \\ -2y-y^2+2=0 \\ {y}^2+2y-2=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-2\right)=4+8=12 \\ y=\frac{-2\pm \sqrt{12}}{2}; y=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2} \\ {y}_1=-1+\sqrt{3}; y_2=-1-\sqrt{3} \end{gathered}$$

Если $y=-1+\sqrt{3}$, то $$\begin{gathered} x=-2-y=-2-(-1+\sqrt{3})=-2+1-\sqrt{3}= \\ =-1-\sqrt{3}, \end{gathered}$$

если $y=-1-\sqrt{3}$, то $$\begin{gathered} x=-2-y=-2-(-1-\sqrt{3})=-2+1+\sqrt{3}= \\ =-1+\sqrt{3} \end{gathered}$$

Ответ: (-1; 2), (2; -1); $(-1-\sqrt{3}; -1+\sqrt{3}), (-1+\sqrt{3}; -1-\sqrt{3})$

Данная система уравнений:

$$ \begin{cases} xy = -2 \\ (x - y)^2 + x + y = 10 \end{cases} $$

Для её решения удобно применить метод введения новых переменных. Пусть $u = x + y$ и $v = xy$.

Из первого уравнения системы сразу получаем $v = -2$.

Теперь преобразуем второе уравнение. Выразим выражение $(x - y)^2$ через $u$ и $v$.

Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Также известно, что $u^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Отсюда можно выразить $x^2 + y^2 = u^2 - 2xy = u^2 - 2v$.

Подставим это выражение в формулу для квадрата разности:

$(x - y)^2 = (x^2 + y^2) - 2xy = (u^2 - 2v) - 2v = u^2 - 4v$.

Теперь заменим выражения в исходном втором уравнении на новые переменные:

$(x - y)^2 + (x + y) = 10 \implies (u^2 - 4v) + u = 10$

Получили систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} v = -2 \\ u^2 - 4v + u = 10 \end{cases} $$

Подставим значение $v = -2$ во второе уравнение:

$u^2 - 4(-2) + u = 10$

$u^2 + 8 + u = 10$

$u^2 + u - 2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $u$. Его можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Следовательно, корни уравнения: $u_1 = 1$ и $u_2 = -2$.

Теперь нужно вернуться к исходным переменным $x$ и $y$, рассмотрев два случая.

Случай 1. Пусть $u = 1$ и $v = -2$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -2 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - 1 \cdot t - 2 = 0 \implies t^2 - t - 2 = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 2, t_2 = -1$.

Таким образом, получаем две пары решений: $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Случай 2. Пусть $u = -2$ и $v = -2$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x + y = -2 \\ xy = -2 \end{cases} $$

Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - (-2)t - 2 = 0 \implies t^2 + 2t - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.

Корни: $t_1 = -1 + \sqrt{3}$ и $t_2 = -1 - \sqrt{3}$.

Таким образом, получаем еще две пары решений: $(-1 + \sqrt{3}, -1 - \sqrt{3})$ и $(-1 - \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3})$.

Объединяя все найденные пары, получаем четыре решения исходной системы.

Ответ: $(2, -1)$, $(-1, 2)$, $(-1 + \sqrt{3}, -1 - \sqrt{3})$, $(-1 - \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3})$.