Номер 1327, страница 287 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1327, страница 287.

1327. Решите систему уравнений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\left\{\begin{array}{l}7xy+2x^2-4y^2=0\\ x^2-5xy+y=-11\end{array}\right. \\ 7xy+2x^2-4y^2=0 \\ 2x^2+7yx-4y^2=0 \\ a=2; b=7y; c=-4y^2 \\ D={\left(7y\right)}^2-4·2·\left(-4y^2\right)=49y^2+32y^2=81y^2 \\ x=\frac{-7y\pm \sqrt{81y^2}}{4}; x=\frac{-7y\pm 9y}{4} \\ {x}_1=\frac{y}{2}; x_2=-4y \\ \text{Если }x=\frac{y}{2},\text{то} \\ \left\{\begin{array}{c}7y·\frac{y}{2}+2{\left(\frac{y}{2}\right)}^2-4y^2=0\\ {\left(\frac{y}{2}\right)}^2-5·\frac{y}{2}y+y=-11\end{array}\right. \\ \frac{y^2}{4}-\frac{5y^2}{2}+y=-11 \\ \frac{y^2}{4}-\frac{10y^2}{4}+y=-11 /·4 \\ {y}^2-10y^2+4y=-44 \\ -9y^2+4y+44=0 \\ D=4^2-4·\left(-9\right)·44=16+1584=1600 \\ y=\frac{-4\pm \sqrt{1600}}{-18}; y=\frac{-4\pm 40}{-18} \\ {y}_1=-2; y_2=\frac{-44}{-18}=\frac{22}{9} \\ \begin{array}{lcl}\left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x=\frac{-2}{2}\end{array}\right.& \text{или}& \left\{\begin{array}{l}y=\frac{22}{9}\\ x=\frac{22}{9}:2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x=-1\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}y=\frac{22}{9}\\ x=\frac{11}{9}\end{array}\right.\end{array} \\ \text{Если }x=-4y, \text{то} \\ {\left(-4y\right)}^2-5\left(-4y\right)y+y=-11 \\ 16y^2+20y^2+y+11=0 \\ 36y^2+y+11=0 \\ D=1^2-4·36·11=1-1584<0 \end{gathered}$$

корней нет

Ответ: $\left(-1; -2\right), \left(\frac{11}{9}; \frac{22}{9}\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\left\{\begin{array}{l}6x^2+2xy-3x-y=0\\ 2x^2-y^2+2x+y=\frac{3}{2}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x\left(3x+y\right)-\left(3x+y\right)=0\\ 2x^2-y^2+2x+y=\frac{3}{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\left(3x+y\right)\left(2x-1\right)=0\\ 2x^2-y^2+2x+y=\frac{3}{2}\end{array}\right. \\ \left(3x+y\right)\left(2x-1\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}3x+y=0& \text{или}& 2x-1=0\\ y=-3x& & 2x=1\\ & & x=\mathrm{0,5}\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}y=-3x\\ 2x^2-y^2+2x+y=\frac{1}{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=-3x\\ 2x^2-{\left(-3x\right)}^2+2x-3x=\frac{3}{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=-3x\\ 2x^2-9x^2-x=\frac{3}{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=-3x\\ -7x^2-x-\frac{3}{2}=0 \mathrm{/}·\left(-2\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=-3x\\ 14x^2+2x+3=0\end{array}\right. \\ 14x^2+2x+3=0 \\ D=2^2-4·14·3=4-168<0 \\ \text{нет корней} \\ \text{ или } \\ \left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{0,5}\\ 2x^2-y^2+2x+y=\frac{3}{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}x=\mathrm{0,5}\\ 2·0,5^2-y^2+2·\mathrm{0,5}+y=\frac{3}{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}x=\mathrm{0,5}\\ \mathrm{0,5}-y^2+1+y=1,5\end{array}\right. \\ -y^2+y+\mathrm{1,5}-\mathrm{1,5}=0 \\ -y^2+y=0 \\ -y\left(y-1\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}y=0& \text{или}& y-1=0\\ & & y=1\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: (0,5; 0), (0,5; 1)

а) Данная система уравнений:

$ \begin{cases} 7xy + 2x^2 - 4y^2 = 0, \\ x^2 - 5xy + y = -11; \end{cases} $

Первое уравнение, $2x^2 + 7xy - 4y^2 = 0$, является однородным уравнением второго порядка. Если предположить, что $y=0$, то из первого уравнения следует, что $2x^2=0$, то есть $x=0$. Пара $(0, 0)$ не является решением второго уравнения, так как $0 \neq -11$. Следовательно, $y \neq 0$. Мы можем разделить первое уравнение на $y^2$:

$2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 7\left(\frac{x}{y}\right) - 4 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Уравнение примет вид:

$2t^2 + 7t - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

Это дает нам два случая для соотношения между $x$ и $y$.

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, что эквивалентно $y = 2x$.

Подставим это во второе уравнение системы $x^2 - 5xy + y = -11$:

$x^2 - 5x(2x) + 2x = -11$

$x^2 - 10x^2 + 2x + 11 = 0$

$-9x^2 + 2x + 11 = 0$

$9x^2 - 2x - 11 = 0$

Дискриминант этого уравнения: $D_x = (-2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-11) = 4 + 396 = 400 = 20^2$.

Находим значения $x$:

$x_1 = \frac{2 + 20}{18} = \frac{22}{18} = \frac{11}{9}$

$x_2 = \frac{2 - 20}{18} = \frac{-18}{18} = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

Для $x_1 = \frac{11}{9}$, $y_1 = 2 \cdot \frac{11}{9} = \frac{22}{9}$.

Для $x_2 = -1$, $y_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Таким образом, мы получили два решения: $(\frac{11}{9}, \frac{22}{9})$ и $(-1, -2)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -4$, что эквивалентно $x = -4y$.

Подставим это во второе уравнение системы:

$(-4y)^2 - 5(-4y)y + y = -11$

$16y^2 + 20y^2 + y = -11$

$36y^2 + y + 11 = 0$

Дискриминант этого уравнения: $D_y = 1^2 - 4 \cdot 36 \cdot 11 = 1 - 1584 = -1583$.

Поскольку $D_y < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(-1, -2)$, $(\frac{11}{9}, \frac{22}{9})$.

б) Данная система уравнений:

$ \begin{cases} 6x^2 + 2xy - 3x - y = 0, \\ 2x^2 - y^2 + 2x + y = \frac{3}{2}. \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение системы и разложим его левую часть на множители методом группировки:

$6x^2 + 2xy - 3x - y = 0$

$(6x^2 - 3x) + (2xy - y) = 0$

$3x(2x - 1) + y(2x - 1) = 0$

$(2x - 1)(3x + y) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям.

Случай 1: $2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$.

Подставим $x = \frac{1}{2}$ во второе уравнение системы:

$2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - y^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right) + y = \frac{3}{2}$

$2 \cdot \frac{1}{4} - y^2 + 1 + y = \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} - y^2 + 1 + y = \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} - y^2 + y = \frac{3}{2}$

$-y^2 + y = 0$

$y(1-y) = 0$

Отсюда получаем $y_1 = 0$ и $y_2 = 1$.

Это дает нам две пары решений: $(\frac{1}{2}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 1)$.

Случай 2: $3x + y = 0 \implies y = -3x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2x^2 - (-3x)^2 + 2x + (-3x) = \frac{3}{2}$

$2x^2 - 9x^2 - x = \frac{3}{2}$

$-7x^2 - x = \frac{3}{2}$

$14x^2 + 2x + 3 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D_x = 2^2 - 4 \cdot 14 \cdot 3 = 4 - 168 = -164$.

Поскольку $D_x < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 0)$, $(\frac{1}{2}, 1)$.