Номер 1330, страница 287 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1330, страница 287.

1330. Найдите решения системы уравнений:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x^2-xy=y^2+5\\ x^2-xy=y^2+1 /·(-1)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x^2-xy=y^2+5\\ -x^2+xy=-y^2-1\end{array}\right.$

Применим способ сложения

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}^2=4\\ x^2-xy=y^2+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ x^2-xy=y^2+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2-2y=y^2+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y^2+2y+1-4=0\end{array}\right. \\ {y}^2+2y-3=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-3\right)=4+12=16 \\ y=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}; y=\frac{-2\pm 4}{2} \\ {y}_1=1; y_2=-3 \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.\text{или} \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

или

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ x^2-xy=y^2+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)y=y^2+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ 4+2y=y^2+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y^2-2y-3=0\end{array}\right. \\ {y}^2-2y-3=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)=4+12=16 \\ y=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2}; y=\frac{2\pm 4}{2} \\ {y}_1=3; y_2=-1 \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3\end{array}\right.\text{или} \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: (2;1), (2;-3), (-2;3), (-2;-1)

б) $\left\{\begin{array}{l}3x^2-2y^2=2xy-1\\ 2x^2-y^2=2xy-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x^2-2y^2=2x^2-y^2\\ 2x^2-y^2=2xy-1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3x^2-2x^2-2y^2+y^2=0\\ 2x^2-y^2=2xy-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=0\\ 2x^2-y^2=2xy-1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\\ 2x^2-y^2=2xy-1\end{array}\right.$

$\mathbf{\text{I. }}\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ 2x^2-y^2=2xy-1\end{array}\right.\text{или}\mathbf{\text{ II.}} \left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2x^2-y^2=2xy-1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{I. }}\left\{\begin{array}{l}x=y\\ 2x^2-x^2=2x^2-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=y\\ x^2=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.или \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

или

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{II. }}\left\{\begin{array}{l}-x=+y\\ 2x^2-x^2=-2x^2-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=-x\\ 3x^2=-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=-x\\ x^2=-\frac{1}{3} - \text{нет корней}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: (1; 1) и (-1; -1)

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x^2 - xy = y^2 + 5 \\ x^2 - xy = y^2 + 1 \end{cases} $$

Перепишем систему, перенеся члены с $y^2$ в левую часть:

$$ \begin{cases} 2x^2 - xy - y^2 = 5 \\ x^2 - xy - y^2 = 1 \end{cases} $$

Это удобная структура для метода вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(2x^2 - xy - y^2) - (x^2 - xy - y^2) = 5 - 1$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$2x^2 - xy - y^2 - x^2 + xy + y^2 = 4$

$x^2 = 4$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь необходимо найти соответствующие значения $y$ для каждого из найденных $x$. Подставим их во второе уравнение исходной системы $x^2 - xy = y^2 + 1$.

Случай 1: $x = 2$.

Подставляем значение в уравнение:

$(2)^2 - 2y = y^2 + 1$

$4 - 2y = y^2 + 1$

Приводим уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 + 2y - 3 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Следовательно, корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(2, 1)$ и $(2, -3)$.

Случай 2: $x = -2$.

Подставляем значение в уравнение:

$(-2)^2 - (-2)y = y^2 + 1$

$4 + 2y = y^2 + 1$

Приводим уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Следовательно, корни: $y_3 = 3$ и $y_4 = -1$.

Таким образом, мы получили еще две пары решений: $(-2, 3)$ и $(-2, -1)$.

В итоге, система имеет четыре решения.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -3)$, $(-2, 3)$, $(-2, -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x^2 - 2y^2 = 2xy - 1 \\ 2x^2 - y^2 = 2xy - 1 \end{cases} $$

Обратим внимание, что правые части обоих уравнений одинаковы. Это позволяет нам приравнять их левые части:

$3x^2 - 2y^2 = 2x^2 - y^2$

Упростим полученное уравнение, собрав подобные члены:

$3x^2 - 2x^2 = 2y^2 - y^2$

$x^2 = y^2$

Это уравнение означает, что либо $y = x$, либо $y = -x$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $y = x$.

Подставим это соотношение в любое из исходных уравнений. Возьмем второе: $2x^2 - y^2 = 2xy - 1$.

$2x^2 - (x)^2 = 2x(x) - 1$

$x^2 = 2x^2 - 1$

$2x^2 - x^2 = 1$

$x^2 = 1$

Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.

Поскольку $y = x$, находим соответствующие значения $y$:

Если $x=1$, то $y=1$. Получаем решение $(1, 1)$.

Если $x=-1$, то $y=-1$. Получаем решение $(-1, -1)$.

Случай 2: $y = -x$.

Подставим это соотношение во второе уравнение: $2x^2 - y^2 = 2xy - 1$.

$2x^2 - (-x)^2 = 2x(-x) - 1$

$2x^2 - x^2 = -2x^2 - 1$

$x^2 = -2x^2 - 1$

$3x^2 = -1$

$x^2 = -1/3$

Данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, система имеет только два решения, полученные в первом случае.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, -1)$.