Номер 1332, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1332, страница 288.

1332. Артель выполнила работу за 20 дней. Если бы в артели было на 4 человека больше и рабочий день увеличился бы на 1 ч, то работа была бы выполнена за 10 дней. Если бы в артели было на 1 человека меньше, а рабочий день сократился на 1 ч, то для выполнения работы потребовалось бы 30 дней. Сколько человек было в артели и какой продолжительности был у них рабочий день?

Пусть x человек было в артели, y ч – продолжительность рабочего дня, тогда xy – производительность артели (часть работы, которую они выполняли за 1 день).

Работа	Производительность		Время, дни
	к-во чел.	прод-сть рабочего дня
20xy	x	y	20
10(x+4)(y+1)	x+4	y+1	10
30(x-1)(y-1)	x-1	y-1	30

Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}20xy=10\left(x+4\right)\left(y+1\right)\mathrm{/}:10\\ 20xy=30\left(x-1\right)\left(y-1\right)\mathrm{/}:0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}2xy=\left(x+4\right)\left(y+1\right)\\ 2xy=3\left(x-1\right)\left(y-1\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\left(x+4\right)\left(y+1\right)=3\left(x-1\right)\left(y-1\right)\\ 2xy=\left(x+4\right)\left(y+1\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy+x+4y+4=3\left(xy-x-y+1\right)\\ 2xy=\left(x+4\right)\left(y+1\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}3xy-3x-3y+3-xy-x-4y-4=0\\ 2xy=\left(x+4\right)\left(y+1\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}2xy-4x-7y-1=0\\ 2xy=\left(x+4\right)\left(y+1\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\left(x+4\right)\left(y+1\right)-4x-7y-1=0\\ 2xy=\left(x+4\right)\left(y+1\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy+x+4y+4-4x-7y-1=0\\ 2xy=xy+x+4y+4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy-3x-3y+3=0\\ 2xy-xy-x-4y-4=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=3x+3y-3\\ xy=x+4y+4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}3x+3y-3=x+4y+4\\ xy=x+4y+4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}2x-y-7=0\\ xy=x+4y+4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=2x-7\\ x\left(2x-7\right)=x+4\left(2x-7\right)+4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=2x-7\\ 2x^2-7x-x-8x+28-4=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=2x-7\\ 2x^2-16x+24=0\mathrm{/}:2\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=2x-7\\ x^2-8x+12=0\end{array}\right. \\ {x}^2-8x+12=0 \\ D={\left(-8\right)}^2-4·1·12=64-48=16 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{16}}{2}; x=\frac{8\pm 4}{2} \\ {x}_1=6; x_2=2 \end{gathered}$$

Если x=6, то y=2x-7=2*6-7=5,

если x=2, то y=2x-7=2*2-7=-3<0 - не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 6 человек, 5ч

Для решения задачи введем переменные: пусть $n$ – первоначальное количество человек в артели, а $h$ – первоначальная продолжительность рабочего дня в часах. Общий объем работы $W$ является постоянной величиной во всех трех сценариях. Объем работы рассчитывается как произведение количества работников, количества дней и продолжительности рабочего дня.

На основе условий задачи составим уравнения для общего объема работы $W$:

1. Первоначальные условия: работа выполнена за 20 дней.
$W = n \cdot h \cdot 20$

2. Второй сценарий: если работников на 4 больше ($n+4$), а рабочий день на 1 час длиннее ($h+1$), работа выполняется за 10 дней.
$W = (n + 4) \cdot (h + 1) \cdot 10$

3. Третий сценарий: если работников на 1 меньше ($n-1$), а рабочий день на 1 час короче ($h-1$), работа выполняется за 30 дней.
$W = (n - 1) \cdot (h - 1) \cdot 30$

Поскольку объем работы $W$ во всех случаях одинаков, мы можем приравнять правые части уравнений. Это позволит нам составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными $n$ и $h$:

$\begin{cases} 20nh = 10(n + 4)(h + 1) \\ 20nh = 30(n - 1)(h - 1) \end{cases}$

Упростим каждое уравнение системы. В первом уравнении разделим обе части на 10:

$2nh = (n + 4)(h + 1)$
$2nh = nh + n + 4h + 4$
$nh - n - 4h = 4$ (Уравнение I)

Во втором уравнении разделим обе части на 10:

$2nh = 3(n - 1)(h - 1)$
$2nh = 3(nh - n - h + 1)$
$2nh = 3nh - 3n - 3h + 3$
$nh - 3n - 3h = -3$ (Уравнение II)

Теперь у нас есть более простая система уравнений:
$\begin{cases} nh - n - 4h = 4 \\ nh - 3n - 3h = -3 \end{cases}$

Для решения системы вычтем Уравнение II из Уравнения I:

$(nh - n - 4h) - (nh - 3n - 3h) = 4 - (-3)$
$nh - n - 4h - nh + 3n + 3h = 4 + 3$
$2n - h = 7$

Из полученного линейного уравнения выразим $h$ через $n$:

$h = 2n - 7$

Подставим это выражение для $h$ в Уравнение I:

$n(2n - 7) - n - 4(2n - 7) = 4$
$2n^2 - 7n - n - 8n + 28 = 4$
$2n^2 - 16n + 24 = 0$

Разделим все члены этого квадратного уравнения на 2 для упрощения:

$n^2 - 8n + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Этим условиям удовлетворяют числа 6 и 2. Таким образом, корни уравнения:

$n_1 = 6$, $n_2 = 2$

Теперь найдем соответствующие значения для $h$ для каждого из найденных корней $n$, используя формулу $h = 2n - 7$:

1. Если $n = 6$, то $h = 2 \cdot 6 - 7 = 12 - 7 = 5$. Продолжительность рабочего дня в 5 часов является физически возможным и логичным значением.

2. Если $n = 2$, то $h = 2 \cdot 2 - 7 = 4 - 7 = -3$. Продолжительность рабочего дня не может быть отрицательной, поэтому это решение является посторонним и не соответствует условию задачи.

Таким образом, единственное верное решение: в артели было 6 человек, а рабочий день длился 5 часов.

Проведем проверку, подставив $n=6$ и $h=5$ в исходные условия:
Исходный объем работы: $6 \text{ чел.} \cdot 5 \text{ ч/день} \cdot 20 \text{ дней} = 600$ человеко-часов.
Сценарий 2: $(6+4) \text{ чел.} \cdot (5+1) \text{ ч/день} \cdot 10 \text{ дней} = 10 \cdot 6 \cdot 10 = 600$ человеко-часов.
Сценарий 3: $(6-1) \text{ чел.} \cdot (5-1) \text{ ч/день} \cdot 30 \text{ дней} = 5 \cdot 4 \cdot 30 = 600$ человеко-часов.
Все расчеты сходятся, что подтверждает правильность решения.

Ответ: в артели было 6 человек, и продолжительность их рабочего дня составляла 5 часов.