Номер 1333, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1333, страница 288.

1333. Благодаря применению в фермерском хозяйстве новых технологий урожайность гречихи возросла на 4 ц с 1 га. В результате было собрано не 147 ц, как в прошлом году, а на 3 ц больше, хотя под гречиху отвели на 1 га меньше. Какова была урожайность гречихи с 1 га в прошлом и текущем годах и какая площадь была отведена в эти годы в фермерском хозяйстве под гречиху?

Пусть х ц/га - урожайность прошлого года, тогда (х+4)ц/га - урожайность текущего года, у га - площадь, отведённая под гречиху в прошлом году, (у-1)га - площадь, отведённая под гречиху в текущем году

	Урож-ть, ц/га	урожай, ц	Площадь, га
В прошлом году	x	147	y
В текущем году	x+4	147+3	y-1

Составим и решим систему уравнений

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}xy=147\\ \left(x+4\right)\left(y-1\right)=150\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}xy=147\\ xy-x+4y-4-150=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=147\\ 147-x+4y-154=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}xy=147\\ 4y-x-7=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=147\\ x=4y-7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\left(4y-7\right)y=147\\ x=4y-7\end{array}\right. \\ 4y^2-7y-147=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·4·\left(-147\right)=49+2352=2401 \\ y=\frac{7\pm \sqrt{2401}}{8}; y=\frac{7\pm 49}{8} \end{gathered}$$
$y_1=7; y_2=\frac{-42}{8}<0$ - не удовлетворяет условию задачи

Если y=7, то x=4y-7=4*7-7=21

21+4=25 (ц/га) - урожайность текущего года

7-1=6 (га) - площадь, отведённая под гречиху в текущем году

Ответ: 21ц/га, 25ц/га; 7га, 6га

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — урожайность гречихи в прошлом году (в центнерах с 1 гектара), а $S$ — площадь, отведенная под гречиху в прошлом году (в гектарах).

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. В прошлом году было собрано 147 ц гречихи. Это значит, что произведение урожайности на площадь равно 147:

$x \cdot S = 147$

2. В текущем году урожайность выросла на 4 ц/га и составила $(x + 4)$ ц/га. Площадь уменьшилась на 1 га и стала $(S - 1)$ га. Сбор урожая увеличился на 3 ц по сравнению с прошлым годом и составил $147 + 3 = 150$ ц. Отсюда второе уравнение:

$(x + 4)(S - 1) = 150$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} xS = 147 \\ (x + 4)(S - 1) = 150 \end{cases}$

Выразим $S$ из первого уравнения: $S = \frac{147}{x}$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(x + 4)(\frac{147}{x} - 1) = 150$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x \cdot \frac{147}{x} - x \cdot 1 + 4 \cdot \frac{147}{x} - 4 \cdot 1 = 150$

$147 - x + \frac{588}{x} - 4 = 150$

$143 - x + \frac{588}{x} = 150$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду. Для этого перенесем все члены в левую часть и умножим на $x$ (поскольку урожайность $x$ не может быть равна нулю):

$-x + \frac{588}{x} - 7 = 0$

$-x^2 + 588 - 7x = 0$

Умножим обе части на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 + 7x - 588 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-588) = 49 + 2352 = 2401$

Так как $\sqrt{2401} = 49$, корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-7 + 49}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{-7 - 49}{2} = \frac{-56}{2} = -28$

Урожайность не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -28$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, урожайность в прошлом году составляла $x = 21$ ц/га.

Теперь мы можем найти все остальные искомые величины.

Урожайность гречихи с 1 га в прошлом и текущем годах

Урожайность в прошлом году составляла $21$ ц/га.

Урожайность в текущем году выросла на 4 ц/га: $21 + 4 = 25$ ц/га.

Ответ: урожайность гречихи в прошлом году составляла 21 ц/га, а в текущем — 25 ц/га.

Площадь, отведенная в эти годы в фермерском хозяйстве под гречиху

Площадь под гречихой в прошлом году: $S = \frac{147}{x} = \frac{147}{21} = 7$ га.

Площадь под гречихой в текущем году была на 1 га меньше: $7 - 1 = 6$ га.

Ответ: площадь под гречиху в прошлом году составляла 7 га, а в текущем — 6 га.