Номер 1335, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1335, страница 288.

1335. Положив в банк 2000 р., вкладчик получил через два года 2420 р. Какой процент начислял банк ежегодно?

Пусть х% банк начислял ежегодно, тогда $2000+\frac{x}{100}·2000=\left(2000+20x\right)\text{p.}$ получит вкладчик через год и $2000+20x+\frac{x}{100}\left(2000+20x\right)\text{p}\mathrm{.}$ получит вкладчик через два года. Зная, что через два года он получил 2420р., составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 2000+20x+\frac{x}{100}\left(2000+20x\right)=2420 \\ 2000+20x+20x+02x^2=2420 \\ 0,2x^2+40x+2000-2420=0 \\ 0,2x^2+40x-420=0 \mathrm{/}·10 \\ 2x^2+400x-4200=0 \mathrm{/}:2 \\ {x}^2+200x-2100=0 \\ D=200^2-4·1·\left(-2100\right)=40000+8400=48400 \\ x=\frac{-200\pm \sqrt{48400}}{2}; x=\frac{200\pm 220}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10; x_2=-210<0$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 10%

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов, которая описывает, как изменяется сумма на вкладе с течением времени при ежегодном начислении процентов.

Формула сложных процентов выглядит так:

$S = P \cdot (1 + r)^n$

где:
$S$ — итоговая сумма на вкладе (2420 р.),
$P$ — первоначальная сумма вклада (2000 р.),
$r$ — годовая процентная ставка, выраженная в долях (искомая величина),
$n$ — количество лет (2 года).

Подставим известные значения в формулу:

$2420 = 2000 \cdot (1 + r)^2$

Чтобы найти $r$, решим это уравнение. Сначала разделим обе части уравнения на 2000:

$(1 + r)^2 = \frac{2420}{2000}$

Сократим дробь:

$(1 + r)^2 = \frac{242}{200} = \frac{121}{100} = 1.21$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как процентная ставка не может быть отрицательной, мы рассматриваем только положительный корень:

$1 + r = \sqrt{1.21}$
$1 + r = 1.1$

Теперь найдем $r$:

$r = 1.1 - 1$
$r = 0.1$

Мы нашли процентную ставку в виде десятичной дроби. Чтобы выразить ее в процентах, умножим это значение на 100:

$r_{\%} = 0.1 \cdot 100\% = 10\%$

Ответ: 10%.