Номер 1326, страница 287 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1326, страница 287.

1326. Найдите решения системы уравнений:

а) $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-3y^2-y=-6\\ 2x^2-3y^2=-4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}^2=3y^2+y-6\\ 2\left(3y^2+y-6\right)-3y^2=-4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}^2=3y^2+y=-6\\ 6y^2+2y-12-3y^2+4=0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 3y^2+2y-8=0 \\ D=2^2-4·3·\left(-8\right)=4+96=100 \\ y=\frac{-2\pm \sqrt{100}}{6}; y=\frac{-2\pm 10}{6} \\ {y}_1=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3} \\ {y}_2=-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\left\{\begin{array}{l}y=1\frac{1}{3}\\ x^2=3·{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+\frac{4}{3}-6\end{array}\text{или}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=1\frac{1}{3}\\ x^2=3·\frac{16}{9}+\frac{4}{3}-6\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=1\frac{1}{3}\\ x^2=\frac{16}{3}+\frac{4}{3}-6\end{array}\right.& \left\{\begin{array}{l}y=-2\\ x^2=3·{\left(-2\right)}^2-2-6\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x^2=12-8\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x^2=4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x=2\end{array}\right. \text{или} \left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x=-2\end{array}\right.\end{array} \\ \left\{\begin{array}{l}y=1\frac{1}{3}\\ x^2=\frac{20}{3}-6\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=1\frac{1}{3}\\ x^2=\frac{2}{3}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=1\frac{1}{3}\\ x=\sqrt{\frac{2}{3}}\end{array}\right. \text{или} \left\{\begin{array}{c}y=1\frac{1}{3}\\ x=-\sqrt{\frac{2}{3}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: $\left(\sqrt{\frac{2}{3}}; 1\frac{1}{3}\right)(\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{3\}\};\; 1\backslash frac\{1\}\{3\}), \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}; 1\frac{1}{3}\right)(-\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{3\}\};\; 1\backslash frac\{1\}\{3\}), \left(2; -2\right)(2;\; -2), \left(-2; -2\right)(-2;\; -2)$

б) $\left\{\begin{array}{l}2x^2+xy=16\\ 3x^2+xy-x=18\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}xy=16-2x^2\\ 3x^2+16-2x^2-x=18\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}xy=16-2x^2\\ x^2-x-2=0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} x^2-x-2=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)=1+8=9 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{1\pm 3}{2} \\ {x}_1=2; x_2=-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\text{Если} x=2, \text{то}& xy=16-2x^2\\ & 2y=16-2·2^2 \\ 2y=8 \\ y=4\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\text{Если} x=-1, \text{то}& xy=16-2x^2\\ & -y=16-2·{\left(-1\right)}^2 \\ -y=14 \\ y=-14\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(2; 4\right)(2;\; 4), \left(-1; -14\right)(-1;\; -14)$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 3y^2 - y = -6, \\ 2x^2 - 3y^2 = -4. \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения (вычитания). Вычтем из второго уравнения первое:

$(2x^2 - 3y^2) - (x^2 - 3y^2 - y) = -4 - (-6)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 3y^2 - x^2 + 3y^2 + y = -4 + 6$

$x^2 + y = 2$

Из полученного простого уравнения выразим $x^2$ через $y$:

$x^2 = 2 - y$

Теперь подставим это выражение для $x^2$ во второе уравнение исходной системы $2x^2 - 3y^2 = -4$:

$2(2 - y) - 3y^2 = -4$

$4 - 2y - 3y^2 = -4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $y$:

$3y^2 + 2y - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4(3)(-8) = 4 + 96 = 100$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя соотношение $x^2 = 2 - y$.

1. Если $y_1 = \frac{4}{3}$:

$x^2 = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Получаем два решения: $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{4}{3})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{4}{3})$.

2. Если $y_2 = -2$:

$x^2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$

Отсюда $x = \pm\sqrt{4} = \pm2$.

Получаем еще два решения: $(2, -2)$ и $(-2, -2)$.

Таким образом, система имеет четыре пары решений.

Ответ: $(2; -2)$, $(-2; -2)$, $(\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{4}{3})$, $(-\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{4}{3})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 + xy = 16, \\ 3x^2 + xy - x = 18. \end{cases} $

В обоих уравнениях присутствует слагаемое $xy$. Применим метод вычитания, чтобы избавиться от этого слагаемого. Вычтем первое уравнение из второго:

$(3x^2 + xy - x) - (2x^2 + xy) = 18 - 16$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$3x^2 + xy - x - 2x^2 - xy = 2$

$x^2 - x = 2$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2, следовательно, корни это $2$ и $-1$. Либо найдем их через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$

Корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$. Воспользуемся первым уравнением системы: $2x^2 + xy = 16$.

Выразим из него $y$:

$xy = 16 - 2x^2 \implies y = \frac{16 - 2x^2}{x}$

1. При $x_1 = 2$:

$y_1 = \frac{16 - 2(2^2)}{2} = \frac{16 - 2 \cdot 4}{2} = \frac{16 - 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Получаем первое решение: $(2, 4)$.

2. При $x_2 = -1$:

$y_2 = \frac{16 - 2(-1)^2}{-1} = \frac{16 - 2 \cdot 1}{-1} = \frac{14}{-1} = -14$

Получаем второе решение: $(-1, -14)$.

Проверим найденные решения, подставив их во второе уравнение $3x^2 + xy - x = 18$.

Для $(2, 4)$: $3(2^2) + (2)(4) - 2 = 3(4) + 8 - 2 = 12 + 8 - 2 = 18$. Верно.

Для $(-1, -14)$: $3(-1)^2 + (-1)(-14) - (-1) = 3(1) + 14 + 1 = 18$. Верно.

Ответ: $(2; 4)$, $(-1; -14)$.