Номер 1325, страница 287 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1325, страница 287.

1325. Решите систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{y-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2}\\ \frac{1}{x-2}=-\frac{3}{y}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{y-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2}\\ y=-3\left(x-2\right), \text{где} y\ne 0, x\ne 2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{y-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2}\\ y=-3x+6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=-3x+6\\ \frac{2}{-3x+6-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \frac{2}{5-3x}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2} \\ \frac{2\left(x+1\right)+3\left(5-3x\right)}{\left(5-3x\right)\left(x+1\right)}=\frac{5}{2} \\ \frac{2x+2+15-9x}{\left(5-3x\right)\left(x+1\right)}=\frac{5}{2} \end{gathered}$$
$\frac{17-7x}{\left(5-3x\right)\left(x+1\right)}=\frac{5}{2}$$/·2\left(5-3x\right)\left(x+1\right)\ne 0; x\ne 1; x\ne \frac{5}{3}$

$$\begin{gathered} 2\left(17-7x\right)=5\left(5-3x\right)\left(x+1\right) \\ 34-14x=5\left(5x+5-3x^2-3x\right) \\ 34-14x=25x+25-15x^2-15x \\ 34-14x=10x+25-15x^2 \\ 15x^2-14x-10x+34-25=0 \\ 15x^2-24x+9=0 /:3 \\ 5x^2-8x+3=0 \\ D={\left(-8\right)}^2-4·5·3=64-60=4 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{4}}{10}; x=\frac{8\pm 2}{10} \\ {x}_1=1; x_2=\mathrm{0,6} \end{gathered}$$

Если $x=1x=1$, то $y=-3x+6=-3·1+6=3y=-3x+6=-3\; \backslash cdot\; 1+6=3$,

если $x=\mathrm{0,6}x=0,6$, то $y=-3x+6=-3·\mathrm{0,6}+6=-\mathrm{1,8}+6=\mathrm{4,2}y=-3x+6=-3\; \backslash cdot\; 0,6+6=-1,8+6=4,2$

Ответ: $\left(1; 3\right), \left(\mathrm{0,6}; \mathrm{4,2}\right)$

б) $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{y+1}=\frac{2}{x-1} /·\left(y+1\right)\left(x-1\right)\ne 0, y\ne -1, x\ne 1\\ \frac{4}{x+2}+\frac{1}{y-1}=\frac{1}{3} /·3\left(x+2\right)\left(y-1\right)\ne 0, x\ne -2; y\ne 1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-1=2\left(y+1\right)\\ 4·3\left(y-1\right)+3\left(x+2\right)=\left(x+2\right)\left(y-1\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x-1=2y+2\\ 12y-12+3x+6=xy-x+2y-2\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2y+3\\ 12y+3\left(2y+3\right)-6=y\left(2y+3\right)-\left(2y+3\right)+2y-2\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2y+3\\ 12y+6y+9-6=2y^2+3y-2y-3+2y-2\end{array}\right. \\ 18y+3=2y^2+3y-5 \\ 2y^2+3y-18y-5-3=0 \\ 2y^2-15y-8=0 \\ D={\left(-15\right)}^2-4·2·\left(-8\right)=225+64=289 \\ y=\frac{15\pm \sqrt{289}}{4}; y=\frac{15\pm 17}{4} \\ {y}_1=8; y_2=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Если $y=8y=8$, то $x=2y+3=2·8+3=19x=2y+3=2\; \backslash cdot\; 8+3=19$,

если $y=-\frac{1}{2}y=-\backslash frac\{1\}\{2\}$, то $x=2y+3=-2·\frac{1}{2}+3=2$

Ответ: $\left(19; 8\right), \left(2; -\frac{1}{2}\right)$

а)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} \frac{2}{y-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{x-2} = -\frac{3}{y} \end{cases} $$Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
Из знаменателей дробей получаем условия: $y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$; $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$; $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$; $y \neq 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \notin \{-1, 2\}$, $y \notin \{0, 1\}$.

Преобразуем второе уравнение системы. Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:$$ 1 \cdot y = -3 \cdot (x-2) $$$$ y = -3x + 6 $$Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:$$ \frac{2}{(-3x+6)-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{2} $$$$ \frac{2}{5-3x} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{2} $$Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(5-3x)(x+1)$:$$ \frac{2(x+1) + 3(5-3x)}{(5-3x)(x+1)} = \frac{5}{2} $$$$ \frac{2x+2+15-9x}{5x+5-3x^2-3x} = \frac{5}{2} $$$$ \frac{17-7x}{-3x^2+2x+5} = \frac{5}{2} $$Снова используем свойство пропорции:$$ 2(17-7x) = 5(-3x^2+2x+5) $$$$ 34 - 14x = -15x^2 + 10x + 25 $$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$$ 15x^2 - 14x - 10x + 34 - 25 = 0 $$$$ 15x^2 - 24x + 9 = 0 $$Разделим уравнение на 3 для упрощения:$$ 5x^2 - 8x + 3 = 0 $$Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2-4ac$:$$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4 $$Корни уравнения:$$ x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8+2}{10} = \frac{10}{10} = 1 $$$$ x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8-2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$Оба значения $x$ входят в ОДЗ.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = -3x+6$.
1. Для $x_1 = 1$:$$ y_1 = -3(1) + 6 = 3 $$Значение $y_1 = 3$ входит в ОДЗ. Первая пара решений: $(1, 3)$.
2. Для $x_2 = \frac{3}{5}$:$$ y_2 = -3\left(\frac{3}{5}\right) + 6 = -\frac{9}{5} + \frac{30}{5} = \frac{21}{5} $$Значение $y_2 = \frac{21}{5}$ входит в ОДЗ. Вторая пара решений: $(\frac{3}{5}, \frac{21}{5})$.

Проверка подтверждает правильность найденных решений.
Ответ: $(1, 3)$, $(\frac{3}{5}, \frac{21}{5})$.

б)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} \frac{1}{y+1} = \frac{2}{x-1} \\ \frac{4}{x+2} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3} \end{cases} $$Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
Из знаменателей дробей получаем условия: $y+1 \neq 0 \Rightarrow y \neq -1$; $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$; $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$; $y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \notin \{1, -2\}$, $y \notin \{-1, 1\}$.

Преобразуем первое уравнение системы. Используя свойство пропорции, получаем:$$ 1 \cdot (x-1) = 2 \cdot (y+1) $$$$ x - 1 = 2y + 2 $$$$ x = 2y + 3 $$Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:$$ \frac{4}{(2y+3)+2} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3} $$$$ \frac{4}{2y+5} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3} $$Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(2y+5)(y-1)$:$$ \frac{4(y-1) + 1(2y+5)}{(2y+5)(y-1)} = \frac{1}{3} $$$$ \frac{4y-4+2y+5}{2y^2-2y+5y-5} = \frac{1}{3} $$$$ \frac{6y+1}{2y^2+3y-5} = \frac{1}{3} $$Используем свойство пропорции:$$ 3(6y+1) = 1(2y^2+3y-5) $$$$ 18y + 3 = 2y^2 + 3y - 5 $$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$$ 2y^2 + 3y - 18y - 5 - 3 = 0 $$$$ 2y^2 - 15y - 8 = 0 $$Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2-4ac$:$$ D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289 $$Корни уравнения:$$ y_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{15+17}{4} = \frac{32}{4} = 8 $$$$ y_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{15-17}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$Оба значения $y$ входят в ОДЗ.

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = 2y+3$.
1. Для $y_1 = 8$:$$ x_1 = 2(8) + 3 = 16 + 3 = 19 $$Значение $x_1 = 19$ входит в ОДЗ. Первая пара решений: $(19, 8)$.
2. Для $y_2 = -\frac{1}{2}$:$$ x_2 = 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = -1 + 3 = 2 $$Значение $x_2 = 2$ входит в ОДЗ. Вторая пара решений: $(2, -\frac{1}{2})$.

Проверка подтверждает правильность найденных решений.
Ответ: $(19, 8)$, $(2, -\frac{1}{2})$.