Номер 1323, страница 287 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1323, страница 287.

1323. Решите графическим способом систему уравнений:

a) $\left\{\begin{array}{c}y-x^2=-1\\ y-2x=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=x^2-1\\ y=2x+1\end{array}\right.$

y=x²-1

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
y	-1	0	3	8	0	3	8

y=2x+1

x	0	2
y	1	5

Ответ: (-0,7; -0,5), (2,7; 6,5)

в) $\left\{\begin{array}{c}xy-1=0\\ y+x^2=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}xy=1\\ y=-x^2+3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=\frac{1}{x}\\ y=-x^2+3\end{array}\right.$

$y=\frac{1}{x}$

x	12	14	1	4	2	-12	-14	-1	-4	-2
y	2	4	1	14	12	-2	-4	-1	-14	-12

y=-x²+3

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
y	3	2	-1	-6	2	-1	-6

Ответ: (0,5; 2,9), (1,5; 0,7), (-1,8; -0,6)

а)

Для решения системы уравнений графическим способом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. $$ \begin{cases} y - x^2 = -1, \\ y - 2x = 1 \end{cases} $$

1. Преобразуем первое уравнение, чтобы выразить y через x: $y - x^2 = -1 \implies y = x^2 - 1$. Графиком этого уравнения является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих параболе:

• при $x = -2$, $y = (-2)^2 - 1 = 3$
• при $x = -1$, $y = (-1)^2 - 1 = 0$
• при $x = 0$, $y = 0^2 - 1 = -1$
• при $x = 1$, $y = 1^2 - 1 = 0$
• при $x = 2$, $y = 2^2 - 1 = 3$

2. Преобразуем второе уравнение: $y - 2x = 1 \implies y = 2x + 1$. Графиком этого уравнения является прямая. Для ее построения достаточно двух точек:

• при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
• при $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$

3. Построим графики параболы $y = x^2 - 1$ и прямой $y = 2x + 1$ в одной координатной плоскости.

4. Найдем точки пересечения графиков. Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Координаты этих точек не являются целочисленными, поэтому графический метод дает лишь приблизительные значения. Для нахождения точного решения следует решить систему алгебраически. Приравняем правые части уравнений: $x^2 - 1 = 2x + 1$ $x^2 - 2x - 2 = 0$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение прямой $y = 2x + 1$: $y_1 = 2(1 + \sqrt{3}) + 1 = 2 + 2\sqrt{3} + 1 = 3 + 2\sqrt{3}$ $y_2 = 2(1 - \sqrt{3}) + 1 = 2 - 2\sqrt{3} + 1 = 3 - 2\sqrt{3}$ Точные координаты точек пересечения: $(1 + \sqrt{3}, 3 + 2\sqrt{3})$ и $(1 - \sqrt{3}, 3 - 2\sqrt{3})$.

Ответ: $(1 + \sqrt{3}, 3 + 2\sqrt{3})$, $(1 - \sqrt{3}, 3 - 2\sqrt{3})$.

б)

Решим графически систему уравнений: $$ \begin{cases} xy - 1 = 0, \\ y + x^2 = 3 \end{cases} $$

1. Преобразуем первое уравнение: $xy - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{x}$. Графиком этого уравнения является гипербола. Ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Найдем несколько точек для построения:

• при $x = 0.5$, $y = 2$
• при $x = 1$, $y = 1$
• при $x = 2$, $y = 0.5$
• при $x = -0.5$, $y = -2$
• при $x = -1$, $y = -1$
• при $x = -2$, $y = -0.5$

2. Преобразуем второе уравнение: $y + x^2 = 3 \implies y = 3 - x^2$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина находится в точке $(0, 3)$. Найдем несколько точек для построения:

• при $x = -2$, $y = 3 - (-2)^2 = -1$
• при $x = -1$, $y = 3 - (-1)^2 = 2$
• при $x = 0$, $y = 3 - 0^2 = 3$
• при $x = 1$, $y = 3 - 1^2 = 2$
• при $x = 2$, $y = 3 - 2^2 = -1$

3. Построим графики гиперболы $y = \frac{1}{x}$ и параболы $y = 3 - x^2$ в одной системе координат.

4. Из графика видно, что кривые пересекаются в трех точках. Координаты этих точек не являются целочисленными. Графический метод позволяет найти их лишь приблизительно, считывая значения с чертежа.

• Первая точка пересечения (в I четверти): $x \approx 0.3$, $y \approx 2.9$
• Вторая точка пересечения (в I четверти): $x \approx 1.5$, $y \approx 0.7$
• Третья точка пересечения (в III четверти): $x \approx -1.9$, $y \approx -0.5$

Алгебраическое решение этой системы приводит к кубическому уравнению $x^3 - 3x + 1 = 0$, которое не имеет простых рациональных корней. Поэтому для данной задачи в рамках графического метода достаточно указать приближенные решения.

Ответ: Приблизительные решения: $(0.3, 2.9)$; $(1.5, 0.7)$; $(-1.9, -0.5)$.