Номер 1240, страница 275 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

50. Решение задач с большими и малыми числами. § 16. Стандартный вид числа. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1240, страница 275.

1240. Замените a каким-либо натуральным числом так, чтобы не имела решений система неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{c}3x>\mathrm{40,8}\\ 5x-a<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>\mathrm{13,6}\\ 5x<a\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>\mathrm{13,6}\\ x<\frac{a}{5}\end{array}\right.$

Ответ: 10

б) $\left\{\begin{array}{l}1-6x<19\\ 4x-a<6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-6x<18\\ 4x<6+a\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>-3\\ x<\frac{6+a}{4}\end{array}\right.$

Ответ: нет такого натурального числа a

а)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 3x > 40,8 \\ 5x - a < 0 \end{cases} $$

Для того чтобы найти значение параметра $a$, при котором система не имеет решений, решим каждое неравенство относительно переменной $x$.

Решение первого неравенства:

$3x > 40,8$

$x > \frac{40,8}{3}$

$x > 13,6$

Решение второго неравенства:

$5x - a < 0$

$5x < a$

$x < \frac{a}{5}$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} x > 13,6 \\ x < \frac{a}{5} \end{cases} $$

Решением этой системы является пересечение двух интервалов: $(13,6; +\infty)$ и $(-\infty; \frac{a}{5})$. Система не будет иметь решений, если эти интервалы не пересекаются. Это произойдет, если правая граница первого интервала ($13,6$) будет больше или равна левой границе второго интервала ($\frac{a}{5}$).

Запишем это в виде неравенства:

$\frac{a}{5} \le 13,6$

Чтобы найти $a$, умножим обе части неравенства на 5:

$a \le 13,6 \cdot 5$

$a \le 68$

По условию, $a$ — натуральное число. Это значит, что $a$ может быть любым целым положительным числом, не превосходящим 68.

Например, можно взять $a = 68$. Тогда система будет $x > 13,6$ и $x < \frac{68}{5}$, то есть $x < 13,6$. Решений нет. Или можно взять $a = 1$. Тогда система будет $x > 13,6$ и $x < \frac{1}{5}$, то есть $x < 0,2$. Решений также нет.

Ответ: можно взять любое натуральное число $a$ такое, что $a \le 68$. Например, $a=10$.

б)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 1 - 6x < 19 \\ 4x - a < 6 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство относительно $x$.

Решение первого неравенства:

$1 - 6x < 19$

$-6x < 19 - 1$

$-6x < 18$

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{18}{-6}$

$x > -3$

Решение второго неравенства:

$4x - a < 6$

$4x < 6 + a$

$x < \frac{6 + a}{4}$

Система неравенств принимает вид:

$$ \begin{cases} x > -3 \\ x < \frac{6 + a}{4} \end{cases} $$

Система не будет иметь решений, если интервалы $(-3; +\infty)$ и $(-\infty; \frac{6+a}{4})$ не пересекаются. Это условие выполняется, если верхняя граница для $x$ будет меньше или равна нижней границе:

$\frac{6 + a}{4} \le -3$

Решим это неравенство относительно $a$:

$6 + a \le -3 \cdot 4$

$6 + a \le -12$

$a \le -12 - 6$

$a \le -18$

По условию задачи, $a$ должно быть натуральным числом, то есть $a$ должно принадлежать множеству $\{1, 2, 3, \ldots\}$. Это означает, что $a \ge 1$.

Мы получили два противоречивых условия для $a$: $a \le -18$ и $a \ge 1$. Не существует ни одного числа, которое бы удовлетворяло обоим этим условиям одновременно. Следовательно, невозможно подобрать такое натуральное число $a$, при котором данная система не имела бы решений. Для любого натурального $a$ неравенство $a > -18$ будет верным, а значит, система всегда будет иметь решения.

Ответ: такого натурального числа $a$ не существует.