Номер 1237, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

50. Решение задач с большими и малыми числами. § 16. Стандартный вид числа. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1237, страница 274.

1237. Найдите значение выражения (2 – 3)7 + 43.

$$\begin{gathered} \left(2-\sqrt{3}\right)\sqrt{7+4\sqrt{3}}= \\ =\left(2-\sqrt{3}\right)\sqrt{2^2+2·2\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}= \\ =\left(2-\sqrt{3}\right)\sqrt{{\left(2+\sqrt{3}\right)}^2}=\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)= \\ =\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=4-3=1 \end{gathered}$$

Для того чтобы найти значение выражения $(2-\sqrt{3})\sqrt{7+4\sqrt{3}}$, мы можем внести первый множитель $(2-\sqrt{3})$ под знак корня.

Сначала необходимо проверить, является ли множитель $(2-\sqrt{3})$ положительным числом, так как под корень можно вносить только неотрицательные множители. Поскольку $2 = \sqrt{4}$ и $\sqrt{4} > \sqrt{3}$, то разность $2-\sqrt{3}$ положительна. Следовательно, мы можем внести множитель под знак корня, возведя его в квадрат:

$(2-\sqrt{3})\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2(7+4\sqrt{3})}$

Теперь раскроем скобки для $(2-\sqrt{3})^2$, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$

Подставим полученное выражение обратно под корень:

$\sqrt{(7 - 4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})}$

Выражение под корнем представляет собой произведение разности и суммы двух чисел. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=4\sqrt{3}$:

$(7 - 4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$

Таким образом, исходное выражение упрощается до:

$\sqrt{1} = 1$

Ответ: 1