Номер 1245, страница 278 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

51. Функции у = х^-1 и у = х^-2 и их свойства. § 16. Стандартный вид числа. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1245, страница 278.

1245. Постройте график функции y = |x⁻¹|. Как расположен этот график относительно оси y?

$y=\mathrm{\mid }{x}^{-1}\mathrm{\mid }y=|x^\{-1\}|$

Если $x^{-1}>0; \frac{1}{x}>0, x>0$, то $y=x^{-1}y=x^\{-1\}; y=\frac{1}{x}y=\backslash frac\{1\}\{x\}$

Если $x^{-1}<0; \frac{1}{x}<0, x<0$, то $y=-x^{-1}y=-x^\{-1\}; y=-\frac{1}{x}y=-\backslash frac\{1\}\{x\}$

График симметричен относительно оси y

Постройте график функции $y = |x^{-1}|$

1. Преобразуем данную функцию. Используя определение степени с отрицательным показателем, получаем: $y = |x^{-1}| = |1/x|$.

2. Построение графика будем выполнять поэтапно, используя преобразование графика базовой функции $y_1 = 1/x$.

3. График функции $y_1 = 1/x$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Ось $y$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось $x$ (прямая $y=0$) — горизонтальной асимптотой.

4. Далее, чтобы построить график функции $y = |1/x|$, нужно применить операцию взятия модуля ко всей функции $y_1$. Правило преобразования графика $y=f(x)$ в график $y=|f(x)|$ заключается в следующем: та часть графика, которая лежит над осью абсцисс ($y \ge 0$), остается без изменений, а та часть, которая лежит под осью абсцисс ($y < 0$), симметрично отражается относительно этой оси.

5. Применительно к нашему случаю:

- Ветвь гиперболы $y_1 = 1/x$, расположенная в I четверти (где $x>0$ и, следовательно, $y_1>0$), остается на своем месте. Для этих $x$ график $y = |1/x|$ совпадает с графиком $y = 1/x$.

- Ветвь гиперболы, расположенная в III четверти (где $x<0$ и, следовательно, $y_1<0$), симметрично отражается относительно оси $x$ и переходит во II четверть. Для этих $x$ график $y = |1/x|$ совпадает с графиком $y = -1/x$.

6. Таким образом, итоговый график функции $y = |x^{-1}|$ состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях. Обе ветви имеют оси координат в качестве асимптот. Все значения функции положительны ($y>0$ для всех $x$ из области определения).

Ответ: График функции представляет собой две ветви. Одна ветвь расположена в первой координатной четверти и является графиком функции $y=1/x$ при $x>0$. Вторая ветвь расположена во второй координатной четверти и является графиком функции $y=-1/x$ при $x<0$. Ось $y$ является вертикальной асимптотой, а ось $x$ — горизонтальной асимптотой.

Как расположен этот график относительно оси y?

Чтобы определить расположение графика относительно оси $y$, исследуем функцию на четность. Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси $y$.

Наша функция: $f(x) = |x^{-1}| = |1/x|$.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = |(-x)^{-1}| = |1/(-x)| = |-1/x|$.

Используя свойство модуля $|-a|=|a|$, получаем:

$f(-x) = |-1/x| = |1/x| = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: График функции $y = |x^{-1}|$ расположен симметрично относительно оси $y$.