Страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1210. Представьте степень в виде произведения:

a) ${\left(a^{-1}{b}^{-1}\right)}^{-2}=a^2{b}^2$

б) ${\left(x^3{y}^{-1}\right)}^2=x^6{y}^{-2}$

в) ${\left(0,5a^{-3}{b}^5\right)}^{-12}=0,5^{-12}{a}^{36}{b}^{-60}=2^{12}{a}^{36}{b}^{-60}$

г) ${\left(-2m^5{n}^{-3}\right)}^2=4m^{10}{n}^{-6}$

д) ${\left(\frac{1}{3}{p}^{-2}{q}^2\right)}^{-3}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}{p}^6{q}^{-6}=27p^6{q}^{-6}$

е) ${\left(-0,5x^{-3}{y}^4\right)}^3={\left(-\frac{1}{2}\right)}^3{x}^{-9}{y}^{12}=-\frac{1}{8}{x}^{-9}{y}^{12}$

а) Чтобы представить степень $(a^{-1}b^{-1})^{-2}$ в виде произведения, необходимо возвести каждый множитель, находящийся в скобках, во внешнюю степень. Для этого мы используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$.

Применяя эти правила, получаем:
$(a^{-1}b^{-1})^{-2} = (a^{-1})^{-2} \cdot (b^{-1})^{-2} = a^{(-1) \cdot (-2)} b^{(-1) \cdot (-2)} = a^2 b^2$.

Ответ: $a^2b^2$.

б) Аналогично предыдущему примеру, для выражения $(x^{3}y^{-1})^{2}$ применяем те же свойства степеней.

$(x^{3}y^{-1})^{2} = (x^3)^2 \cdot (y^{-1})^2 = x^{3 \cdot 2} \cdot y^{-1 \cdot 2} = x^6y^{-2}$.

Ответ: $x^6y^{-2}$.

в) В выражении $(0,5a^{-3}b^{5})^{-12}$ необходимо возвести в степень $-12$ каждый из трех множителей: числовой коэффициент $0,5$ и переменные $a^{-3}$ и $b^5$.

$(0,5a^{-3}b^{5})^{-12} = (0,5)^{-12} \cdot (a^{-3})^{-12} \cdot (b^{5})^{-12}$.

Вычислим значение для каждого множителя по отдельности:
$(0,5)^{-12} = (\frac{1}{2})^{-12} = 2^{12} = 4096$.
$(a^{-3})^{-12} = a^{(-3) \cdot (-12)} = a^{36}$.
$(b^{5})^{-12} = b^{5 \cdot (-12)} = b^{-60}$.

Объединив результаты, получаем: $4096a^{36}b^{-60}$.

Ответ: $4096a^{36}b^{-60}$.

г) Для выражения $(-2m^{5}n^{-3})^{2}$ возводим в квадрат коэффициент $-2$ и каждую переменную в соответствующей степени.

$(-2m^{5}n^{-3})^{2} = (-2)^2 \cdot (m^5)^2 \cdot (n^{-3})^2 = 4 \cdot m^{5 \cdot 2} \cdot n^{-3 \cdot 2} = 4m^{10}n^{-6}$.

Ответ: $4m^{10}n^{-6}$.

д) В выражении $(\frac{1}{3}p^{-2}q^{2})^{-3}$ возводим в степень $-3$ коэффициент $\frac{1}{3}$ и переменные.

$(\frac{1}{3}p^{-2}q^{2})^{-3} = (\frac{1}{3})^{-3} \cdot (p^{-2})^{-3} \cdot (q^{2})^{-3}$.

Вычислим каждый множитель:
$(\frac{1}{3})^{-3} = (3^{-1})^{-3} = 3^3 = 27$.
$(p^{-2})^{-3} = p^{(-2) \cdot (-3)} = p^6$.
$(q^{2})^{-3} = q^{2 \cdot (-3)} = q^{-6}$.

Таким образом, результат: $27p^6q^{-6}$.

Ответ: $27p^6q^{-6}$.

е) Для выражения $(-0,5x^{-3}y^{4})^{3}$ возводим в куб каждый множитель в скобках.

$(-0,5x^{-3}y^{4})^{3} = (-0,5)^3 \cdot (x^{-3})^3 \cdot (y^4)^3$.

Вычисляем значения:
$(-0,5)^3 = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8} = -0,125$.
$(x^{-3})^3 = x^{-3 \cdot 3} = x^{-9}$.
$(y^4)^3 = y^{4 \cdot 3} = y^{12}$.

Итоговое выражение: $-0,125x^{-9}y^{12}$.

Ответ: $-0,125x^{-9}y^{12}$.

1211. Преобразуйте в произведение:

a) ${\left(6a^{-5}b\right)}^{-1}=\frac{1}{6}{a}^6{b}^{-1}$

б) ${\left(\frac{3}{4}{a}^{-1}{b}^{-3}\right)}^{-2}={\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}{a}^2{b}^6=\frac{16}{9}{a}^2{b}^6=1\frac{7}{9}{a}^2{b}^6$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{\left(-0,3x^{-5}{y}^4\right)}^{-2}={\left(-0,3\right)}^{-2}{x}^{10}{y}^{-8}= \\ =\frac{1}{{\left(-0,3\right)}^2}{x}^{10}{y}^{-8}=\frac{1}{0,09}{x}^{10}{y}^{-8}= \\ =\frac{100}{9}{x}^{10}{y}^{-8}=11\frac{1}{9}{x}^{10}{y}^{-8} \end{gathered}$$

г) ${\left(\frac{7}{8}{p}^{-6}q\right)}^{-1}={\left(\frac{7}{8}\right)}^{-1}{p}^6{q}^{-1}=\frac{8}{7}{p}^6{q}^{-1}=1\frac{1}{7}{p}^6{q}^{-1}$

а) Для преобразования выражения $(6a^{-5}b)^{-1}$ в произведение, необходимо возвести каждый множитель в скобках в степень $-1$. Мы используем свойство степени произведения $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(6a^{-5}b)^{-1} = 6^{-1} \cdot (a^{-5})^{-1} \cdot b^{-1}$

Теперь вычислим значение каждого множителя. Вспомним, что $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

$6^{-1} = \frac{1}{6}$

$(a^{-5})^{-1} = a^{-5 \cdot (-1)} = a^5$

$b^{-1} = \frac{1}{b}$

Объединим полученные результаты:

$\frac{1}{6} \cdot a^5 \cdot \frac{1}{b} = \frac{a^5}{6b}$

Ответ: $\frac{a^5}{6b}$

б) Преобразуем выражение $(\frac{3}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2}$, используя те же свойства степеней.

$(\frac{3}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2} = (\frac{3}{4})^{-2} \cdot (a^{-1})^{-2} \cdot (b^{-3})^{-2}$

Рассмотрим каждый множитель по отдельности. Для возведения дроби в отрицательную степень используем свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$.

$(\frac{3}{4})^{-2} = (\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$

$(a^{-1})^{-2} = a^{-1 \cdot (-2)} = a^2$

$(b^{-3})^{-2} = b^{-3 \cdot (-2)} = b^6$

Теперь перемножим все полученные части:

$\frac{16}{9} \cdot a^2 \cdot b^6 = \frac{16a^2b^6}{9}$

Ответ: $\frac{16a^2b^6}{9}$

в) Преобразуем выражение $(-0,3x^{-5}y^4)^{-2}$.

$(-0,3x^{-5}y^4)^{-2} = (-0,3)^{-2} \cdot (x^{-5})^{-2} \cdot (y^4)^{-2}$

Сначала разберемся с числовым коэффициентом. Удобнее представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,3 = -\frac{3}{10}$.

$(-0,3)^{-2} = (-\frac{3}{10})^{-2} = (-\frac{10}{3})^2 = \frac{(-10)^2}{3^2} = \frac{100}{9}$

Теперь преобразуем степени переменных:

$(x^{-5})^{-2} = x^{-5 \cdot (-2)} = x^{10}$

$(y^4)^{-2} = y^{4 \cdot (-2)} = y^{-8} = \frac{1}{y^8}$

Объединим результаты в одно выражение:

$\frac{100}{9} \cdot x^{10} \cdot \frac{1}{y^8} = \frac{100x^{10}}{9y^8}$

Ответ: $\frac{100x^{10}}{9y^8}$

г) Преобразуем выражение $(\frac{7}{8}p^{-6}q)^{-1}$.

$(\frac{7}{8}p^{-6}q)^{-1} = (\frac{7}{8})^{-1} \cdot (p^{-6})^{-1} \cdot q^{-1}$

Преобразуем каждый множитель по отдельности:

$(\frac{7}{8})^{-1} = \frac{8}{7}$

$(p^{-6})^{-1} = p^{-6 \cdot (-1)} = p^6$

$q^{-1} = \frac{1}{q}$

Собираем все части вместе, чтобы получить окончательный результат:

$\frac{8}{7} \cdot p^6 \cdot \frac{1}{q} = \frac{8p^6}{7q}$

Ответ: $\frac{8p^6}{7q}$

1212. Представьте в виде степени произведения выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}0,0001x^{-4}={\left(0,1\right)}^4{x}^{-4}={\left(\frac{1}{10}\right)}^4{x}^{-4}= \\ =10^{-4}{x}^{-4}={\left(10x\right)}^{-4} \end{gathered}$$

б) $32y^{-5}=2^5{y}^{-5}=\frac{1}{2^{-5}}·y^{-5}={\left(0,5y\right)}^{-5}$

в) $0,0081a^8{b}^{-12}={\left(0,3\right)}^4{a}^8{b}^{-12}={\left(0,3a^2{b}^{-3}\right)}^4$

г) $10^n{x}^{-2n}{y}^{3n}={\left(10x^{-2}{y}^3\right)}^n, n\in Z$

а) Чтобы представить выражение $0,0001x^{-4}$ в виде степени произведения, необходимо каждый множитель представить в виде степени с одинаковым показателем. В данном случае общий показатель степени равен $-4$.

Представим числовой коэффициент $0,0001$ в виде степени с показателем $-4$.

$0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.

Теперь исходное выражение можно записать так:

$0,0001x^{-4} = 10^{-4} \cdot x^{-4}$.

Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$10^{-4} \cdot x^{-4} = (10x)^{-4}$.

Ответ: $(10x)^{-4}$.

б) Рассмотрим выражение $32y^{-5}$. Показатель степени переменной $y$ равен $-5$. Представим число $32$ в виде степени с показателем $-5$.

Пусть искомое основание степени равно $a$. Тогда должно выполняться равенство $a^{-5} = 32$.

Из этого равенства следует, что $\frac{1}{a^5} = 32$, откуда $a^5 = \frac{1}{32}$.

Так как $2^5 = 32$, то $a^5 = \frac{1}{2^5} = (\frac{1}{2})^5$. Следовательно, $a = \frac{1}{2}$ или $0,5$.

Таким образом, $32 = (\frac{1}{2})^{-5}$.

Подставим это в исходное выражение:

$32y^{-5} = (\frac{1}{2})^{-5} \cdot y^{-5}$.

По свойству степени произведения, получаем:

$(\frac{1}{2})^{-5} \cdot y^{-5} = (\frac{1}{2}y)^{-5}$ или $(0,5y)^{-5}$.

Ответ: $(\frac{1}{2}y)^{-5}$.

в) Дано выражение $0,0081a^8b^{-12}$. Общий наибольший делитель показателей степеней $8$ и $-12$ равен $4$. Поэтому будем приводить все множители к степени с показателем $4$.

Представим каждый множитель в виде степени с показателем $4$:

1. Числовой коэффициент: $0,0081 = \frac{81}{10000} = \frac{3^4}{10^4} = (\frac{3}{10})^4 = (0,3)^4$.

2. Переменная $a$: $a^8 = a^{2 \cdot 4} = (a^2)^4$.

3. Переменная $b$: $b^{-12} = b^{-3 \cdot 4} = (b^{-3})^4$.

Теперь объединим все множители под одним показателем степени:

$0,0081a^8b^{-12} = (0,3)^4 \cdot (a^2)^4 \cdot (b^{-3})^4 = (0,3a^2b^{-3})^4$.

Ответ: $(0,3a^2b^{-3})^4$.

г) Рассмотрим выражение $10^n x^{-2n} y^{3n}$, где $n$ – целое число. Общим множителем в показателях степеней является $n$. Представим каждый сомножитель в виде степени с показателем $n$.

1. $10^n$ уже представлено в нужном виде.

2. $x^{-2n} = x^{-2 \cdot n} = (x^{-2})^n$.

3. $y^{3n} = y^{3 \cdot n} = (y^3)^n$.

Объединим множители, используя свойство степени произведения:

$10^n \cdot (x^{-2})^n \cdot (y^3)^n = (10x^{-2}y^3)^n$.

Это выражение также можно записать в виде дроби:

$(10 \frac{y^3}{x^2})^n$.

Ответ: $(10x^{-2}y^3)^n$.

1213. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{12x^{-5}}{y^{-6}}·\frac{y}{36x^{-9}}=\frac{12x^{-5}y}{36x^{-9}{y}^{-6}}= \\ =\frac{1}{3}{x}^{-5-\left(-9\right)}{y}^{1-\left(-6\right)}=\frac{1}{3}{x}^4{y}^7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{63a^2}{2b^{-5}}·\frac{18b^2}{7a}=\frac{63a^2·18b^2}{2b^{-5}·7a}= \\ =9·9a^{2-1}{b}^{2-\left(-5\right)}=81a{b}^7 \end{gathered}$$

$\mathbf{\text{в) }}\frac{5x^{-1}{y}^3}{3}·\frac{9x^6}{y^{-2}}=5·3x^{-1+6}·y^{3-\left(-2\right)}=15x^5{y}^5$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{16p^{-1}{q}^2}{5}·\frac{25p^6}{64q^{-8}}=\frac{5p^{-1+6}·q^{2-\left(-8\right)}}{4}= \\ =\frac{5}{4}{p}^5{q}^{2+8}=1\frac{1}{4}{p}^5{q}^{10} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить данное выражение, сначала перемножим дроби, объединив числители и знаменатели. Затем сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$ \frac{12x^{-5}}{y^{-6}} \cdot \frac{y}{36x^{-9}} = \frac{12x^{-5}y}{36y^{-6}x^{-9}} = \frac{12}{36} \cdot \frac{x^{-5}}{x^{-9}} \cdot \frac{y}{y^{-6}} $.
Сократим числовую дробь: $ \frac{12}{36} = \frac{1}{3} $.
Теперь упростим выражения с переменными, используя правило деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
Для $x$: $ \frac{x^{-5}}{x^{-9}} = x^{-5 - (-9)} = x^{-5+9} = x^4 $.
Для $y$: $ \frac{y^1}{y^{-6}} = y^{1 - (-6)} = y^{1+6} = y^7 $.
Объединяем полученные результаты: $ \frac{1}{3}x^4y^7 = \frac{x^4y^7}{3} $.
Ответ: $ \frac{x^4y^7}{3} $

б) Перемножим дроби и сгруппируем множители:
$ \frac{63a^2}{2b^{-5}} \cdot \frac{18b^2}{7a} = \frac{63a^2 \cdot 18b^2}{2b^{-5} \cdot 7a} = \frac{63 \cdot 18}{2 \cdot 7} \cdot \frac{a^2}{a} \cdot \frac{b^2}{b^{-5}} $.
Упростим числовой коэффициент: $ \frac{63}{7} = 9 $ и $ \frac{18}{2} = 9 $, значит $ 9 \cdot 9 = 81 $.
Упростим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
Для $a$: $ \frac{a^2}{a^1} = a^{2-1} = a $.
Для $b$: $ \frac{b^2}{b^{-5}} = b^{2 - (-5)} = b^{2+5} = b^7 $.
Соединяем все части вместе: $ 81ab^7 $.
Ответ: $ 81ab^7 $

в) Выполним умножение дробей и перегруппируем множители:
$ \frac{5x^{-1}y^3}{3} \cdot \frac{9x^6}{y^{-2}} = \frac{5x^{-1}y^3 \cdot 9x^6}{3y^{-2}} = \frac{5 \cdot 9}{3} \cdot (x^{-1}x^6) \cdot \frac{y^3}{y^{-2}} $.
Упростим коэффициент: $ \frac{45}{3} = 15 $.
Теперь упростим выражения с переменными, используя правила умножения $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ и деления $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ степеней:
Для $x$: $ x^{-1}x^6 = x^{-1+6} = x^5 $.
Для $y$: $ \frac{y^3}{y^{-2}} = y^{3-(-2)} = y^{3+2} = y^5 $.
Объединяем полученные результаты: $ 15x^5y^5 $.
Ответ: $ 15x^5y^5 $

г) Перемножим дроби, сгруппировав отдельно числовые коэффициенты и переменные:
$ \frac{16p^{-1}q^2}{5} \cdot \frac{25p^6}{64q^{-8}} = \frac{16p^{-1}q^2 \cdot 25p^6}{5 \cdot 64q^{-8}} = \frac{16 \cdot 25}{5 \cdot 64} \cdot (p^{-1}p^6) \cdot \frac{q^2}{q^{-8}} $.
Упростим числовую дробь: $ \frac{16 \cdot 25}{5 \cdot 64} = \frac{16}{64} \cdot \frac{25}{5} = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4} $.
Упростим степени, используя правила $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ и $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
Для $p$: $ p^{-1}p^6 = p^{-1+6} = p^5 $.
Для $q$: $ \frac{q^2}{q^{-8}} = q^{2 - (-8)} = q^{2+8} = q^{10} $.
Объединяем полученные результаты: $ \frac{5}{4}p^5q^{10} = \frac{5p^5q^{10}}{4} $.
Ответ: $ \frac{5p^5q^{10}}{4} $

1214. Преобразуйте выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{13x^{-2}}{y}·\frac{y^{12}}{39x^{-3}}=\frac{1}{3}{x}^{-2-\left(-3\right)}·y^{12-1}= \\ =\frac{1}{3}{x}^{-2+3}{y}^{11}=\frac{1}{3}x{y}^{11} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{5a^5}{b^{-7}}·\frac{7b^{-3}}{25a}=\frac{7}{5}{a}^{5-1}{b}^{-3-\left(-7\right)}=\frac{7}{5}{a}^4{b}^{-3+7}= \\ =1\frac{2}{5}{a}^4{b}^4 \end{gathered}$$

в) $\frac{p}{3c^{-2}}·\frac{15c}{p^{-2}}=5p^{1-\left(-2\right)}{c}^{1-\left(-2\right)}=5p^3{c}^3\backslash frac\{p\}\{3c^\{-2\}\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{15c\}\{p^\{-2\}\}=5p^\{1-(-2)\}c^\{1-(-2)\}=5p^\{3\}c^\{3\}$

г) $\frac{26x^{17}}{y^{-8}}·\frac{y}{13x^{25}}=2x^{17-25}·y^{1-\left(-8\right)}=2x^{-8}{y}^9\backslash frac\{26x^\{17\}\}\{y^\{-8\}\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{y\}\{13x^\{25\}\}=2x^\{17-25\}\; \backslash cdot\; y^\{1-(-8)\}=2x^\{-8\}y^\{9\}$

а) $\frac{13x^{-2}}{y} \cdot \frac{y^{12}}{39x^{-3}}$

Для преобразования данного выражения, сначала перемножим числители и знаменатели дробей:
$\frac{13x^{-2} \cdot y^{12}}{y \cdot 39x^{-3}}$
Теперь сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:
$\frac{13}{39} \cdot \frac{x^{-2}}{x^{-3}} \cdot \frac{y^{12}}{y}$
Упростим каждую группу. Для упрощения дробей со степенями будем использовать правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
1. Упростим коэффициенты: $\frac{13}{39} = \frac{1}{3}$.
2. Упростим переменную $x$: $\frac{x^{-2}}{x^{-3}} = x^{-2 - (-3)} = x^{-2+3} = x^1 = x$.
3. Упростим переменную $y$: $\frac{y^{12}}{y} = \frac{y^{12}}{y^1} = y^{12-1} = y^{11}$.
Объединим полученные результаты:
$\frac{1}{3} \cdot x \cdot y^{11} = \frac{xy^{11}}{3}$.
Ответ: $\frac{xy^{11}}{3}$

б) $\frac{5a^5}{b^{-7}} \cdot \frac{7b^{-3}}{25a}$

Перемножим числители и знаменатели дробей:
$\frac{5a^5 \cdot 7b^{-3}}{b^{-7} \cdot 25a}$
Сгруппируем коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:
$\frac{5 \cdot 7}{25} \cdot \frac{a^5}{a} \cdot \frac{b^{-3}}{b^{-7}}$
Упростим каждую группу, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
1. Упростим коэффициенты: $\frac{35}{25} = \frac{7}{5}$.
2. Упростим переменную $a$: $\frac{a^5}{a} = a^{5-1} = a^4$.
3. Упростим переменную $b$: $\frac{b^{-3}}{b^{-7}} = b^{-3 - (-7)} = b^{-3+7} = b^4$.
Соберем все части вместе:
$\frac{7}{5} a^4 b^4 = \frac{7a^4b^4}{5}$.
Ответ: $\frac{7a^4b^4}{5}$

в) $\frac{p}{3c^{-2}} \cdot \frac{15c}{p^{-2}}$

Перемножим дроби, умножив числитель на числитель и знаменатель на знаменатель:
$\frac{p \cdot 15c}{3c^{-2} \cdot p^{-2}}$
Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:
$\frac{15}{3} \cdot \frac{p}{p^{-2}} \cdot \frac{c}{c^{-2}}$
Упростим каждую группу:
1. Упростим коэффициенты: $\frac{15}{3} = 5$.
2. Упростим переменную $p$: $\frac{p}{p^{-2}} = p^{1 - (-2)} = p^{1+2} = p^3$.
3. Упростим переменную $c$: $\frac{c}{c^{-2}} = c^{1 - (-2)} = c^{1+2} = c^3$.
Объединим результаты:
$5 p^3 c^3$.
Ответ: $5p^3c^3$

г) $\frac{26x^{17}}{y^{-8}} \cdot \frac{y}{13x^{25}}$

Перемножим дроби:
$\frac{26x^{17} \cdot y}{y^{-8} \cdot 13x^{25}}$
Сгруппируем коэффициенты и переменные:
$\frac{26}{13} \cdot \frac{x^{17}}{x^{25}} \cdot \frac{y}{y^{-8}}$
Упростим каждую группу:
1. Упростим коэффициенты: $\frac{26}{13} = 2$.
2. Упростим переменную $x$: $\frac{x^{17}}{x^{25}} = x^{17-25} = x^{-8}$.
3. Упростим переменную $y$: $\frac{y}{y^{-8}} = y^{1 - (-8)} = y^{1+8} = y^9$.
Соберем все вместе. Для представления ответа без отрицательных степеней используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$2 \cdot x^{-8} \cdot y^9 = \frac{2y^9}{x^8}$.
Ответ: $\frac{2y^9}{x^8}$

1215. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{\left(0,25x^{-4}{y}^{-3}\right)}^2·{\left(\frac{x^{-3}}{4y^2}\right)}^{-3}= \\ =0,0625x^{-8}{y}^{-6}·\frac{x^9}{4^{-3}{y}^{-6}}= \\ =0,0625·4^3{x}^{-8+9}{y}^{-6-\left(-6\right)}=4x{y}^{-6+6}=4x \end{gathered}$$

б) ${\left(\frac{a^{-3}{b}^4}{9}\right)}^{-2}·{\left(\frac{3}{a^{-2}{b}^3}\right)}^{-3}={\left(\frac{9}{a^{-3}{b}^4}\right)}^2·{\left(\frac{a^{-2}{b}^3}{3}\right)}^3=$
$=\frac{81}{a^{-6}{b}^8}·\frac{a^{-6}{b}^9}{27}=3a^{-6-\left(-6\right)}{b}^{9-8}=3b$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{\left(\frac{c^{-4}}{10a^5{b}^2}\right)}^{-2}·{\left(5a^{3}b{c}^2\right)}^{-2}={\left(\frac{c^{-4}·5a^{3}b{c}^2}{10a^5{b}^2}\right)}^{-2}= \\ ={\left(0,5a^{3-5}{b}^{1-2}{c}^{-4+2}\right)}^{-2}={\left(\frac{1}{2}{a}^{-2}{b}^{-1}{c}^{-2}\right)}^{-2}= \\ ={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}{a}^4{b}^2{c}^4=4a^4{b}^2{c}^4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{\left(\frac{x^2{y}^{-3}}{6z}\right)}^{-3}·{\left(\frac{x^2{y}^{-2}}{9z}\right)}^2=\frac{x^{-6}{y}^9}{6^{-3}{z}^{-3}}·\frac{x^4{y}^{-4}}{9^2{z}^2}= \\ =\frac{6^3{x}^{-6+4}{y}^{-3-4}}{9^2{z}^{-3+2}}=\frac{216x^{-2}{y}^5}{81z^{-1}}=\frac{8}{3}{x}^{-2}{y}^{5}z \end{gathered}$$

а) $(0,25x^{-4}y^{-3})^2 \cdot (\frac{x^{-3}}{4y^2})^{-3}$

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней. Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,25 = \frac{1}{4}$.

$((\frac{1}{4})x^{-4}y^{-3})^2 \cdot (\frac{x^{-3}}{4y^2})^{-3}$

Возведем в степень каждый множитель в первой скобке, используя свойство $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{1}{4})^2 \cdot (x^{-4})^2 \cdot (y^{-3})^2 = \frac{1}{16} x^{-4 \cdot 2} y^{-3 \cdot 2} = \frac{1}{16}x^{-8}y^{-6}$

Для второй скобки воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, чтобы избавиться от отрицательной степени:

$(\frac{x^{-3}}{4y^2})^{-3} = (\frac{4y^2}{x^{-3}})^3 = \frac{4^3 (y^2)^3}{(x^{-3})^3} = \frac{64y^{2 \cdot 3}}{x^{-3 \cdot 3}} = \frac{64y^6}{x^{-9}}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{1}{16}x^{-8}y^{-6} \cdot \frac{64y^6}{x^{-9}} = \frac{64}{16} \cdot \frac{x^{-8}}{x^{-9}} \cdot y^{-6}y^6$

Упростим, используя свойства $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m a^n = a^{m+n}$:

$4 \cdot x^{-8 - (-9)} \cdot y^{-6+6} = 4 \cdot x^{-8+9} \cdot y^0 = 4x^1 \cdot 1 = 4x$

Ответ: $4x$

б) $(\frac{a^{-3}b^4}{9})^{-2} \cdot (\frac{3}{a^{-2}b^3})^{-3}$

Применим свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ к обоим множителям:

$(\frac{9}{a^{-3}b^4})^{2} \cdot (\frac{a^{-2}b^3}{3})^{3}$

Возведем в степень числитель и знаменатель в каждой дроби, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\frac{9^2}{(a^{-3})^2(b^4)^2} \cdot \frac{(a^{-2})^3(b^3)^3}{3^3} = \frac{81}{a^{-6}b^8} \cdot \frac{a^{-6}b^9}{27}$

Теперь перемножим дроби, сокращая коэффициенты и группируя переменные:

$\frac{81}{27} \cdot \frac{a^{-6}}{a^{-6}} \cdot \frac{b^9}{b^8} = 3 \cdot a^{-6 - (-6)} \cdot b^{9-8} = 3 \cdot a^0 \cdot b^1 = 3 \cdot 1 \cdot b = 3b$

Ответ: $3b$

в) $(\frac{c^{-4}}{10a^5b^2})^{-2} \cdot (5a^3bc^2)^{-2}$

Упростим первый множитель, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{10a^5b^2}{c^{-4}})^2 = \frac{10^2(a^5)^2(b^2)^2}{(c^{-4})^2} = \frac{100a^{10}b^4}{c^{-8}}$

Упростим второй множитель, используя свойство $(abc)^{-n} = a^{-n}b^{-n}c^{-n}$:

$(5a^3bc^2)^{-2} = 5^{-2}(a^3)^{-2}b^{-2}(c^2)^{-2} = \frac{1}{25}a^{-6}b^{-2}c^{-4}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{100a^{10}b^4}{c^{-8}} \cdot \frac{1}{25}a^{-6}b^{-2}c^{-4} = \frac{100}{25} \cdot a^{10}a^{-6} \cdot b^4b^{-2} \cdot \frac{c^{-4}}{c^{-8}}$

Сгруппируем и упростим степени:

$4 \cdot a^{10-6} \cdot b^{4-2} \cdot c^{-4 - (-8)} = 4 \cdot a^4 \cdot b^2 \cdot c^{4} = 4a^4b^2c^4$

Ответ: $4a^4b^2c^4$

г) $(\frac{x^2y^{-3}}{6z})^{-3} \cdot (\frac{x^2y^{-2}}{9z})^2$

Упростим первый множитель, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{6z}{x^2y^{-3}})^3 = \frac{6^3z^3}{(x^2)^3(y^{-3})^3} = \frac{216z^3}{x^6y^{-9}}$

Упростим второй множитель:

$(\frac{x^2y^{-2}}{9z})^2 = \frac{(x^2)^2(y^{-2})^2}{9^2z^2} = \frac{x^4y^{-4}}{81z^2}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{216z^3}{x^6y^{-9}} \cdot \frac{x^4y^{-4}}{81z^2} = \frac{216}{81} \cdot \frac{x^4}{x^6} \cdot \frac{y^{-4}}{y^{-9}} \cdot \frac{z^3}{z^2}$

Сократим числовой коэффициент: $\frac{216}{81} = \frac{24 \cdot 9}{9 \cdot 9} = \frac{24}{9} = \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{8}{3}$.

Упростим степени переменных, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^4}{x^6} = x^{4-6} = x^{-2}$

$\frac{y^{-4}}{y^{-9}} = y^{-4 - (-9)} = y^{-4+9} = y^5$

$\frac{z^3}{z^2} = z^{3-2} = z^1 = z$

Соберем все вместе:

$\frac{8}{3}x^{-2}y^5z = \frac{8y^5z}{3x^2}$

Ответ: $\frac{8y^5z}{3x^2}$

1216. Преобразуйте выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{\left(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}}\right)}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}·12x{y}^5=\frac{2^{-2}{x}^2}{3^{-2}{y}^4}·12x{y}^5= \\ ={\left(\frac{3}{2}\right)}^2{x}^3·12y=\frac{9}{4}·12x^{3}y=27x^{3}y \end{gathered}$$

б) $4a^7{b}^{-1}·{\left(\frac{ab}{5}\right)}^{-1}=4a^7{b}^{-1}·\frac{5}{ab}=20a^6{b}^{-2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{\left(2a^{-2}{b}^3\right)}^2·{\left(\frac{a}{b}\right)}^{-6}=4a^{-4}{b}^6·\frac{a^{-6}}{b^{-6}}= \\ =4a^{-4-6}{b}^{6-\left(-6\right)}=4a^{-10}{b}^{12} \end{gathered}$$

г) ${\left(\frac{2x^2}{y^3}\right)}^{-1}·{\left(x^{-1}y\right)}^3=\frac{1}{2}·\frac{y^{-2}}{y^{-3}}·x^{-3}{y}^3=\frac{1}{2}{x}^{-5}{y}^6$

а) $(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}})^{-2} \cdot 12xy^5$

Сначала преобразуем первый множитель. При возведении дроби в отрицательную степень, мы можем перевернуть дробь и поменять знак степени на положительный:

$(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}})^{-2} = (\frac{3y^{-2}}{2x^{-1}})^{2}$

Теперь возведем каждый член дроби в квадрат, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{3y^{-2}}{2x^{-1}})^{2} = \frac{3^2 \cdot (y^{-2})^2}{2^2 \cdot (x^{-1})^2} = \frac{9y^{-4}}{4x^{-2}}$

Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, чтобы избавиться от отрицательных степеней:

$\frac{9y^{-4}}{4x^{-2}} = \frac{9/y^4}{4/x^2} = \frac{9}{y^4} \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{9x^2}{4y^4}$

Теперь умножим полученное выражение на второй множитель $12xy^5$:

$\frac{9x^2}{4y^4} \cdot 12xy^5 = \frac{9x^2 \cdot 12xy^5}{4y^4}$

Сократим коэффициенты и сгруппируем переменные, используя свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{9 \cdot 12}{4} \cdot (x^2 \cdot x) \cdot \frac{y^5}{y^4} = 27 \cdot x^{2+1} \cdot y^{5-4} = 27x^3y^1 = 27x^3y$

Ответ: $27x^3y$

б) $4a^7b^{-1} \cdot (\frac{ab}{5})^{-1}$

Преобразуем второй множитель, используя свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$:

$(\frac{ab}{5})^{-1} = \frac{5}{ab}$

Также преобразуем первый множитель, используя свойство $b^{-1} = \frac{1}{b}$:

$4a^7b^{-1} = \frac{4a^7}{b}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{4a^7}{b} \cdot \frac{5}{ab} = \frac{4a^7 \cdot 5}{b \cdot ab} = \frac{20a^7}{ab^2}$

Сократим дробь, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{20a^{7-1}}{b^2} = \frac{20a^6}{b^2}$

Ответ: $\frac{20a^6}{b^2}$

в) $(2a^{-2}b^3)^2 \cdot (\frac{a}{b})^{-6}$

Сначала преобразуем первый множитель, возведя его в квадрат. Для этого каждый множитель в скобках возводим в квадрат:

$(2a^{-2}b^3)^2 = 2^2 \cdot (a^{-2})^2 \cdot (b^3)^2 = 4 \cdot a^{-2 \cdot 2} \cdot b^{3 \cdot 2} = 4a^{-4}b^6$

Теперь преобразуем второй множитель, возведя дробь в степень $-6$. Это эквивалентно возведению перевернутой дроби в степень $6$:

$(\frac{a}{b})^{-6} = (\frac{b}{a})^6 = \frac{b^6}{a^6}$

Перемножим полученные выражения:

$4a^{-4}b^6 \cdot \frac{b^6}{a^6}$

Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{4b^6}{a^4} \cdot \frac{b^6}{a^6} = \frac{4 \cdot b^6 \cdot b^6}{a^4 \cdot a^6}$

Используем свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ для переменных $a$ и $b$:

$\frac{4b^{6+6}}{a^{4+6}} = \frac{4b^{12}}{a^{10}}$

Ответ: $\frac{4b^{12}}{a^{10}}$

г) $(\frac{2x^2}{y^3})^{-1} \cdot (x^{-1}y)^3$

Преобразуем первый множитель, возведя дробь в степень $-1$, что равносильно переворачиванию дроби:

$(\frac{2x^2}{y^3})^{-1} = \frac{y^3}{2x^2}$

Преобразуем второй множитель, возведя его в куб. Для этого каждый множитель в скобках возводим в куб:

$(x^{-1}y)^3 = (x^{-1})^3 \cdot y^3 = x^{-1 \cdot 3} \cdot y^3 = x^{-3}y^3$

Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$x^{-3}y^3 = \frac{y^3}{x^3}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{y^3}{2x^2} \cdot \frac{y^3}{x^3} = \frac{y^3 \cdot y^3}{2x^2 \cdot x^3}$

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для переменных $x$ и $y$:

$\frac{y^{3+3}}{2x^{2+3}} = \frac{y^6}{2x^5}$

Ответ: $\frac{y^6}{2x^5}$

1217. Известно, что x₁ и x₂ — корни уравнения 8x² – 6x + n = 0 и x₁⁻¹ + x₂⁻¹ = 6. Найдите n.

$$\begin{gathered} 8x^2-6x+n=0 \\ {x}_1^{-1}+x_2^{-1}=6 \\ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=6 \\ \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=6 \\ {x}^2-\frac{6}{8}x+\frac{n}{8}=0 \\ {x}_1+x_2=\frac{6}{8} \\ {x}_1{x}_2=\frac{n}{8} \\ \frac{{\displaystyle \frac{6}{8}}}{{\displaystyle \frac{n}{8}}}=6 \\ \frac{6}{8}:\frac{n}{8}=6 \\ \frac{6·8}{8n}=6 \\ \frac{6}{n}=6 \\ n=1 \end{gathered}$$

Ответ: n=1

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $8x^2 - 6x + n = 0$ коэффициенты равны: $a = 8$, $b = -6$, $c = n$.

Применим теорему Виета к нашему уравнению:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-6}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{n}{8}$.

Теперь рассмотрим второе условие, данное в задаче: $x_1^{-1} + x_2^{-1} = 6$.

Преобразуем левую часть этого равенства:

$x_1^{-1} + x_2^{-1} = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x_1 \cdot x_2$:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1 \cdot x_2} + \frac{x_1}{x_1 \cdot x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$

Теперь у нас есть выражение, которое связывает сумму и произведение корней. Мы можем подставить в него значения, найденные по теореме Виета, и исходное условие:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = 6$

Подставим выражения для суммы и произведения корней:

$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{n}{8}} = 6$

Решим это уравнение относительно $n$. Чтобы разделить дроби, умножим числитель на перевернутый знаменатель:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{n} = 6$

$\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot n} = 6$

$\frac{24}{4n} = 6$

$\frac{6}{n} = 6$

Отсюда следует, что $n = 1$.

Проверим, существуют ли при $n=1$ действительные корни. Для этого дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4$

Поскольку $D = 4 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и наше решение корректно.

Ответ: $n = 1$.