Номер 1213, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1213, страница 269.

1213. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{12x^{-5}}{y^{-6}}·\frac{y}{36x^{-9}}=\frac{12x^{-5}y}{36x^{-9}{y}^{-6}}= \\ =\frac{1}{3}{x}^{-5-\left(-9\right)}{y}^{1-\left(-6\right)}=\frac{1}{3}{x}^4{y}^7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{63a^2}{2b^{-5}}·\frac{18b^2}{7a}=\frac{63a^2·18b^2}{2b^{-5}·7a}= \\ =9·9a^{2-1}{b}^{2-\left(-5\right)}=81a{b}^7 \end{gathered}$$

$\mathbf{\text{в) }}\frac{5x^{-1}{y}^3}{3}·\frac{9x^6}{y^{-2}}=5·3x^{-1+6}·y^{3-\left(-2\right)}=15x^5{y}^5$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{16p^{-1}{q}^2}{5}·\frac{25p^6}{64q^{-8}}=\frac{5p^{-1+6}·q^{2-\left(-8\right)}}{4}= \\ =\frac{5}{4}{p}^5{q}^{2+8}=1\frac{1}{4}{p}^5{q}^{10} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить данное выражение, сначала перемножим дроби, объединив числители и знаменатели. Затем сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$ \frac{12x^{-5}}{y^{-6}} \cdot \frac{y}{36x^{-9}} = \frac{12x^{-5}y}{36y^{-6}x^{-9}} = \frac{12}{36} \cdot \frac{x^{-5}}{x^{-9}} \cdot \frac{y}{y^{-6}} $.
Сократим числовую дробь: $ \frac{12}{36} = \frac{1}{3} $.
Теперь упростим выражения с переменными, используя правило деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
Для $x$: $ \frac{x^{-5}}{x^{-9}} = x^{-5 - (-9)} = x^{-5+9} = x^4 $.
Для $y$: $ \frac{y^1}{y^{-6}} = y^{1 - (-6)} = y^{1+6} = y^7 $.
Объединяем полученные результаты: $ \frac{1}{3}x^4y^7 = \frac{x^4y^7}{3} $.
Ответ: $ \frac{x^4y^7}{3} $

б) Перемножим дроби и сгруппируем множители:
$ \frac{63a^2}{2b^{-5}} \cdot \frac{18b^2}{7a} = \frac{63a^2 \cdot 18b^2}{2b^{-5} \cdot 7a} = \frac{63 \cdot 18}{2 \cdot 7} \cdot \frac{a^2}{a} \cdot \frac{b^2}{b^{-5}} $.
Упростим числовой коэффициент: $ \frac{63}{7} = 9 $ и $ \frac{18}{2} = 9 $, значит $ 9 \cdot 9 = 81 $.
Упростим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
Для $a$: $ \frac{a^2}{a^1} = a^{2-1} = a $.
Для $b$: $ \frac{b^2}{b^{-5}} = b^{2 - (-5)} = b^{2+5} = b^7 $.
Соединяем все части вместе: $ 81ab^7 $.
Ответ: $ 81ab^7 $

в) Выполним умножение дробей и перегруппируем множители:
$ \frac{5x^{-1}y^3}{3} \cdot \frac{9x^6}{y^{-2}} = \frac{5x^{-1}y^3 \cdot 9x^6}{3y^{-2}} = \frac{5 \cdot 9}{3} \cdot (x^{-1}x^6) \cdot \frac{y^3}{y^{-2}} $.
Упростим коэффициент: $ \frac{45}{3} = 15 $.
Теперь упростим выражения с переменными, используя правила умножения $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ и деления $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ степеней:
Для $x$: $ x^{-1}x^6 = x^{-1+6} = x^5 $.
Для $y$: $ \frac{y^3}{y^{-2}} = y^{3-(-2)} = y^{3+2} = y^5 $.
Объединяем полученные результаты: $ 15x^5y^5 $.
Ответ: $ 15x^5y^5 $

г) Перемножим дроби, сгруппировав отдельно числовые коэффициенты и переменные:
$ \frac{16p^{-1}q^2}{5} \cdot \frac{25p^6}{64q^{-8}} = \frac{16p^{-1}q^2 \cdot 25p^6}{5 \cdot 64q^{-8}} = \frac{16 \cdot 25}{5 \cdot 64} \cdot (p^{-1}p^6) \cdot \frac{q^2}{q^{-8}} $.
Упростим числовую дробь: $ \frac{16 \cdot 25}{5 \cdot 64} = \frac{16}{64} \cdot \frac{25}{5} = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4} $.
Упростим степени, используя правила $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ и $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
Для $p$: $ p^{-1}p^6 = p^{-1+6} = p^5 $.
Для $q$: $ \frac{q^2}{q^{-8}} = q^{2 - (-8)} = q^{2+8} = q^{10} $.
Объединяем полученные результаты: $ \frac{5}{4}p^5q^{10} = \frac{5p^5q^{10}}{4} $.
Ответ: $ \frac{5p^5q^{10}}{4} $