Номер 1212, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1212, страница 269.

1212. Представьте в виде степени произведения выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}0,0001x^{-4}={\left(0,1\right)}^4{x}^{-4}={\left(\frac{1}{10}\right)}^4{x}^{-4}= \\ =10^{-4}{x}^{-4}={\left(10x\right)}^{-4} \end{gathered}$$

б) $32y^{-5}=2^5{y}^{-5}=\frac{1}{2^{-5}}·y^{-5}={\left(0,5y\right)}^{-5}$

в) $0,0081a^8{b}^{-12}={\left(0,3\right)}^4{a}^8{b}^{-12}={\left(0,3a^2{b}^{-3}\right)}^4$

г) $10^n{x}^{-2n}{y}^{3n}={\left(10x^{-2}{y}^3\right)}^n, n\in Z$

а) Чтобы представить выражение $0,0001x^{-4}$ в виде степени произведения, необходимо каждый множитель представить в виде степени с одинаковым показателем. В данном случае общий показатель степени равен $-4$.

Представим числовой коэффициент $0,0001$ в виде степени с показателем $-4$.

$0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.

Теперь исходное выражение можно записать так:

$0,0001x^{-4} = 10^{-4} \cdot x^{-4}$.

Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$10^{-4} \cdot x^{-4} = (10x)^{-4}$.

Ответ: $(10x)^{-4}$.

б) Рассмотрим выражение $32y^{-5}$. Показатель степени переменной $y$ равен $-5$. Представим число $32$ в виде степени с показателем $-5$.

Пусть искомое основание степени равно $a$. Тогда должно выполняться равенство $a^{-5} = 32$.

Из этого равенства следует, что $\frac{1}{a^5} = 32$, откуда $a^5 = \frac{1}{32}$.

Так как $2^5 = 32$, то $a^5 = \frac{1}{2^5} = (\frac{1}{2})^5$. Следовательно, $a = \frac{1}{2}$ или $0,5$.

Таким образом, $32 = (\frac{1}{2})^{-5}$.

Подставим это в исходное выражение:

$32y^{-5} = (\frac{1}{2})^{-5} \cdot y^{-5}$.

По свойству степени произведения, получаем:

$(\frac{1}{2})^{-5} \cdot y^{-5} = (\frac{1}{2}y)^{-5}$ или $(0,5y)^{-5}$.

Ответ: $(\frac{1}{2}y)^{-5}$.

в) Дано выражение $0,0081a^8b^{-12}$. Общий наибольший делитель показателей степеней $8$ и $-12$ равен $4$. Поэтому будем приводить все множители к степени с показателем $4$.

Представим каждый множитель в виде степени с показателем $4$:

1. Числовой коэффициент: $0,0081 = \frac{81}{10000} = \frac{3^4}{10^4} = (\frac{3}{10})^4 = (0,3)^4$.

2. Переменная $a$: $a^8 = a^{2 \cdot 4} = (a^2)^4$.

3. Переменная $b$: $b^{-12} = b^{-3 \cdot 4} = (b^{-3})^4$.

Теперь объединим все множители под одним показателем степени:

$0,0081a^8b^{-12} = (0,3)^4 \cdot (a^2)^4 \cdot (b^{-3})^4 = (0,3a^2b^{-3})^4$.

Ответ: $(0,3a^2b^{-3})^4$.

г) Рассмотрим выражение $10^n x^{-2n} y^{3n}$, где $n$ – целое число. Общим множителем в показателях степеней является $n$. Представим каждый сомножитель в виде степени с показателем $n$.

1. $10^n$ уже представлено в нужном виде.

2. $x^{-2n} = x^{-2 \cdot n} = (x^{-2})^n$.

3. $y^{3n} = y^{3 \cdot n} = (y^3)^n$.

Объединим множители, используя свойство степени произведения:

$10^n \cdot (x^{-2})^n \cdot (y^3)^n = (10x^{-2}y^3)^n$.

Это выражение также можно записать в виде дроби:

$(10 \frac{y^3}{x^2})^n$.

Ответ: $(10x^{-2}y^3)^n$.