Номер 1211, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1211, страница 269.

1211. Преобразуйте в произведение:

a) ${\left(6a^{-5}b\right)}^{-1}=\frac{1}{6}{a}^6{b}^{-1}$

б) ${\left(\frac{3}{4}{a}^{-1}{b}^{-3}\right)}^{-2}={\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}{a}^2{b}^6=\frac{16}{9}{a}^2{b}^6=1\frac{7}{9}{a}^2{b}^6$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{\left(-0,3x^{-5}{y}^4\right)}^{-2}={\left(-0,3\right)}^{-2}{x}^{10}{y}^{-8}= \\ =\frac{1}{{\left(-0,3\right)}^2}{x}^{10}{y}^{-8}=\frac{1}{0,09}{x}^{10}{y}^{-8}= \\ =\frac{100}{9}{x}^{10}{y}^{-8}=11\frac{1}{9}{x}^{10}{y}^{-8} \end{gathered}$$

г) ${\left(\frac{7}{8}{p}^{-6}q\right)}^{-1}={\left(\frac{7}{8}\right)}^{-1}{p}^6{q}^{-1}=\frac{8}{7}{p}^6{q}^{-1}=1\frac{1}{7}{p}^6{q}^{-1}$

а) Для преобразования выражения $(6a^{-5}b)^{-1}$ в произведение, необходимо возвести каждый множитель в скобках в степень $-1$. Мы используем свойство степени произведения $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(6a^{-5}b)^{-1} = 6^{-1} \cdot (a^{-5})^{-1} \cdot b^{-1}$

Теперь вычислим значение каждого множителя. Вспомним, что $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

$6^{-1} = \frac{1}{6}$

$(a^{-5})^{-1} = a^{-5 \cdot (-1)} = a^5$

$b^{-1} = \frac{1}{b}$

Объединим полученные результаты:

$\frac{1}{6} \cdot a^5 \cdot \frac{1}{b} = \frac{a^5}{6b}$

Ответ: $\frac{a^5}{6b}$

б) Преобразуем выражение $(\frac{3}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2}$, используя те же свойства степеней.

$(\frac{3}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2} = (\frac{3}{4})^{-2} \cdot (a^{-1})^{-2} \cdot (b^{-3})^{-2}$

Рассмотрим каждый множитель по отдельности. Для возведения дроби в отрицательную степень используем свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$.

$(\frac{3}{4})^{-2} = (\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$

$(a^{-1})^{-2} = a^{-1 \cdot (-2)} = a^2$

$(b^{-3})^{-2} = b^{-3 \cdot (-2)} = b^6$

Теперь перемножим все полученные части:

$\frac{16}{9} \cdot a^2 \cdot b^6 = \frac{16a^2b^6}{9}$

Ответ: $\frac{16a^2b^6}{9}$

в) Преобразуем выражение $(-0,3x^{-5}y^4)^{-2}$.

$(-0,3x^{-5}y^4)^{-2} = (-0,3)^{-2} \cdot (x^{-5})^{-2} \cdot (y^4)^{-2}$

Сначала разберемся с числовым коэффициентом. Удобнее представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,3 = -\frac{3}{10}$.

$(-0,3)^{-2} = (-\frac{3}{10})^{-2} = (-\frac{10}{3})^2 = \frac{(-10)^2}{3^2} = \frac{100}{9}$

Теперь преобразуем степени переменных:

$(x^{-5})^{-2} = x^{-5 \cdot (-2)} = x^{10}$

$(y^4)^{-2} = y^{4 \cdot (-2)} = y^{-8} = \frac{1}{y^8}$

Объединим результаты в одно выражение:

$\frac{100}{9} \cdot x^{10} \cdot \frac{1}{y^8} = \frac{100x^{10}}{9y^8}$

Ответ: $\frac{100x^{10}}{9y^8}$

г) Преобразуем выражение $(\frac{7}{8}p^{-6}q)^{-1}$.

$(\frac{7}{8}p^{-6}q)^{-1} = (\frac{7}{8})^{-1} \cdot (p^{-6})^{-1} \cdot q^{-1}$

Преобразуем каждый множитель по отдельности:

$(\frac{7}{8})^{-1} = \frac{8}{7}$

$(p^{-6})^{-1} = p^{-6 \cdot (-1)} = p^6$

$q^{-1} = \frac{1}{q}$

Собираем все части вместе, чтобы получить окончательный результат:

$\frac{8}{7} \cdot p^6 \cdot \frac{1}{q} = \frac{8p^6}{7q}$

Ответ: $\frac{8p^6}{7q}$