Номер 1217, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1217, страница 269.

1217. Известно, что x₁ и x₂ — корни уравнения 8x² – 6x + n = 0 и x₁⁻¹ + x₂⁻¹ = 6. Найдите n.

$$\begin{gathered} 8x^2-6x+n=0 \\ {x}_1^{-1}+x_2^{-1}=6 \\ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=6 \\ \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=6 \\ {x}^2-\frac{6}{8}x+\frac{n}{8}=0 \\ {x}_1+x_2=\frac{6}{8} \\ {x}_1{x}_2=\frac{n}{8} \\ \frac{{\displaystyle \frac{6}{8}}}{{\displaystyle \frac{n}{8}}}=6 \\ \frac{6}{8}:\frac{n}{8}=6 \\ \frac{6·8}{8n}=6 \\ \frac{6}{n}=6 \\ n=1 \end{gathered}$$

Ответ: n=1

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $8x^2 - 6x + n = 0$ коэффициенты равны: $a = 8$, $b = -6$, $c = n$.

Применим теорему Виета к нашему уравнению:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-6}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{n}{8}$.

Теперь рассмотрим второе условие, данное в задаче: $x_1^{-1} + x_2^{-1} = 6$.

Преобразуем левую часть этого равенства:

$x_1^{-1} + x_2^{-1} = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x_1 \cdot x_2$:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1 \cdot x_2} + \frac{x_1}{x_1 \cdot x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$

Теперь у нас есть выражение, которое связывает сумму и произведение корней. Мы можем подставить в него значения, найденные по теореме Виета, и исходное условие:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = 6$

Подставим выражения для суммы и произведения корней:

$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{n}{8}} = 6$

Решим это уравнение относительно $n$. Чтобы разделить дроби, умножим числитель на перевернутый знаменатель:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{n} = 6$

$\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot n} = 6$

$\frac{24}{4n} = 6$

$\frac{6}{n} = 6$

Отсюда следует, что $n = 1$.

Проверим, существуют ли при $n=1$ действительные корни. Для этого дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4$

Поскольку $D = 4 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и наше решение корректно.

Ответ: $n = 1$.