Номер 1220, страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1220, страница 270.

1220. Сократите дробь acabc, зная, что b = a + c.

$\frac{\overline{ac}}{\overline{abc}}=\frac{10a+c}{100a+10b+c}$

если $b=a+cb=a+c$, то

$$\begin{gathered} \frac{10a+c}{100a+10\left(a+c\right)+c}=\frac{10a+c}{100a+10a+10c+c}= \\ =\frac{10a+c}{110a+11c}=\frac{10a+c}{11\left(10a+c\right)}=\frac{1}{11} \end{gathered}$$

В данной задаче $\overline{ac}$ и $\overline{abc}$ обозначают числа, составленные из цифр $a, c$ и $a, b, c$ соответственно.

Для того чтобы сократить дробь, представим ее числитель и знаменатель в виде алгебраических выражений, соответствующих их десятичной записи.

Числитель $\overline{ac}$ является двузначным числом, значение которого можно записать как:
$\overline{ac} = 10a + c$

Знаменатель $\overline{abc}$ является трехзначным числом, его значение:
$\overline{abc} = 100a + 10b + c$

Таким образом, исходная дробь имеет вид:
$\frac{\overline{ac}}{\overline{abc}} = \frac{10a + c}{100a + 10b + c}$

Теперь воспользуемся условием, данным в задаче: $b = a + c$. Подставим это выражение для $b$ в знаменатель дроби:
$100a + 10b + c = 100a + 10(a + c) + c$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в знаменателе:
$100a + 10(a + c) + c = 100a + 10a + 10c + c = 110a + 11c$

Вынесем общий множитель 11 за скобки в знаменателе:
$110a + 11c = 11(10a + c)$

Теперь подставим преобразованный знаменатель обратно в дробь:
$\frac{10a + c}{100a + 10b + c} = \frac{10a + c}{11(10a + c)}$

Сократим дробь на общий множитель $(10a + c)$. Этот множитель не равен нулю, так как $a$ — это первая цифра в двузначном и трехзначном числе, значит $a \ge 1$, и $c \ge 0$, следовательно $10a + c > 0$.
$\frac{1 \cdot (10a + c)}{11 \cdot (10a + c)} = \frac{1}{11}$

Ответ: $\frac{1}{11}$