Номер 1, страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1, страница 270.

1. Сформулируйте определение степени с целым отрицательным показателем.

Определение. Если а≠0 и n - целое отрицательное число, то $a^n=\frac{1}{a^{-n}}.$

1

Определение степени с целым отрицательным показателем формулируется следующим образом: степенью числа ??, не равного нулю, с целым отрицательным показателем $-n$ называется число, обратное степени этого же числа ?? с положительным показателем $n$.

Это определение выражается математической формулой, которая справедлива для любого числа $a \neq 0$ и любого натурального (целого положительного) числа $n$:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

При этом важно учитывать два ключевых момента. Во-первых, основание степени $a$ не может быть равно нулю ($a \neq 0$). Это требование является критическим, так как в противном случае знаменатель дроби $a^n$ в правой части формулы обратился бы в ноль, а деление на ноль является неопределенной математической операцией. Во-вторых, показатель степени $-n$ является целым отрицательным числом, что означает, что само число $n$ — это натуральное число ($n = 1, 2, 3, \ldots$).

Введение степени с отрицательным показателем позволяет обобщить и сохранить все основные свойства степеней (например, умножение, деление, возведение в степень) для любых целых, а не только натуральных показателей. Например, свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$ становится универсальным. Если мы рассмотрим частное $\frac{a^2}{a^5}$, то по этому правилу получим $a^{2-5} = a^{-3}$. С другой стороны, по определению дроби, $\frac{a^2}{a^5} = \frac{a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \frac{1}{a^3}$. Для того чтобы эти два результата были равны, необходимо принять, что $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$, что и подтверждает логичность определения.

Пример: Вычислить $5^{-2}$.
Согласно определению, $a=5$ и $n=2$. Таким образом: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Ответ: Степенью числа $a$ (при $a \neq 0$) с целым отрицательным показателем $-n$ (где $n$ — натуральное число) называется дробь, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе — степень числа $a$ с показателем $n$. Формула: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.