Номер 4, страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 4, страница 270.

4. Как возвести произведение и частное в степень?

Для каждого a≠0, b≠0, и любого целого n

$$\begin{gathered} {\left(ab\right)}^n=a^n{b}^n \\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}. \end{gathered}$$

Для возведения произведения и частного в степень существуют два основных правила, которые являются свойствами степени.

Возведение произведения в степень

Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень, а затем перемножить полученные результаты.

Формула этого правила:

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

Это свойство верно для любого количества множителей в произведении. Например, для трех: $(a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n$.

Примеры:

• $(2x)^4 = 2^4 \cdot x^4 = 16x^4$

• $(5 \cdot 2)^3 = 5^3 \cdot 2^3 = 125 \cdot 8 = 1000$. Также можно посчитать иначе для проверки: $(5 \cdot 2)^3 = 10^3 = 1000$.

• $(-3ab^2)^3 = (-3)^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 = -27 \cdot a^3 \cdot b^{2 \cdot 3} = -27a^3b^6$

Ответ: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

Возведение частного в степень

Чтобы возвести частное (дробь) в степень, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель. Результатом будет дробь, где возведенный в степень числитель делится на возведенный в степень знаменатель.

Формула этого правила (при условии, что знаменатель $b$ не равен нулю):

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, где $b \neq 0$

Примеры:

• $(\frac{3}{5})^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}$

• $(\frac{12}{4})^3 = \frac{12^3}{4^3} = \frac{1728}{64} = 27$. Также можно посчитать иначе для проверки: $(\frac{12}{4})^3 = 3^3 = 27$.

• $(\frac{2x^3}{y^2})^4 = \frac{(2x^3)^4}{(y^2)^4} = \frac{2^4 \cdot (x^3)^4}{(y^2)^4} = \frac{16x^{12}}{y^8}$, где $y \neq 0$

Ответ: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, где $b \neq 0$.