Номер 1199, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1199, страница 267.

1199. Представьте выражение в виде степени с основанием 2 и найдите его значение:

a) $\frac{1}{16}·2^{10}=\frac{1}{2^4}·2^{10}=2^{-4}·2^{10}=2^{-4+10}=2^6=64$

б) $32·{\left(2^{-4}\right)}^2=2^5·2^{-8}=2^{5+\left(-8\right)}=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

в) $8^{-1}·4^3={\left(2^3\right)}^{-1}·{\left(2^2\right)}^3=2^{-3}·2^6=2^{-3+6}=2^3=8$

г) $4^5·16^{-2}={\left(2^2\right)}^5·{\left(2^4\right)}^{-2}=2^{10}·2^{-8}=2^{10+\left(-8\right)}=2^2=4$

а)

Чтобы представить выражение $\frac{1}{16} \cdot 2^{10}$ в виде степени с основанием 2, сначала представим число 16 как степень двойки.
$16 = 2^4$.
По свойству степени с отрицательным показателем $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{1}{16} \cdot 2^{10} = 2^{-4} \cdot 2^{10}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^{-4} \cdot 2^{10} = 2^{-4+10} = 2^6$.
Теперь найдем значение этого выражения:
$2^6 = 64$.
Ответ: $2^6 = 64$.

б)

Рассмотрим выражение $32 \cdot (2^{-4})^2$.
Представим число 32 в виде степени с основанием 2:
$32 = 2^5$.
Упростим вторую часть выражения, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^{-4})^2 = 2^{-4 \cdot 2} = 2^{-8}$.
Теперь исходное выражение выглядит так:
$2^5 \cdot 2^{-8}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$2^{5+(-8)} = 2^{5-8} = 2^{-3}$.
Найдем значение выражения:
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $2^{-3} = \frac{1}{8}$.

в)

Рассмотрим выражение $8^{-1} \cdot 4^3$.
Представим числа 8 и 4 в виде степеней с основанием 2:
$8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.
Подставим эти значения в выражение:
$(2^3)^{-1} \cdot (2^2)^3$.
Применим свойство возведения степени в степень:
$2^{3 \cdot (-1)} \cdot 2^{2 \cdot 3} = 2^{-3} \cdot 2^6$.
Теперь умножим степени, сложив их показатели:
$2^{-3+6} = 2^3$.
Найдем значение выражения:
$2^3 = 8$.
Ответ: $2^3 = 8$.

г)

Рассмотрим выражение $4^5 \cdot 16^{-2}$.
Представим числа 4 и 16 в виде степеней с основанием 2:
$4 = 2^2$ и $16 = 2^4$.
Подставим эти значения в выражение:
$(2^2)^5 \cdot (2^4)^{-2}$.
Применим свойство возведения степени в степень:
$2^{2 \cdot 5} \cdot 2^{4 \cdot (-2)} = 2^{10} \cdot 2^{-8}$.
Теперь умножим степени, сложив их показатели:
$2^{10+(-8)} = 2^{10-8} = 2^2$.
Найдем значение выражения:
$2^2 = 4$.
Ответ: $2^2 = 4$.