Номер 1170, страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1170, страница 260.

1170. В одной системе координат постройте графики функций

Как зависит расположение графика функции у = $\frac{k}{x}$ от модуля коэффициента k?

Если , то график расположен во II и IV координатных четвертях.

Если $k>0k>0$, то график расположен в I и III координатных четвертях.

Чем больше модуль $kk$, тем дальше гипербола расположена от начала координат.

Все заданные функции имеют вид $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — ненулевой коэффициент. Такие функции являются обратной пропорциональностью, а их графиком является гипербола. Гипербола состоит из двух ветвей, а ее асимптотами служат координатные оси Ox и Oy.

Расположение ветвей гиперболы зависит от знака коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, ветви графика расположены в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$, ветви графика расположены во II и IV координатных четвертях.

Для построения графиков в одной системе координат составим таблицы значений для каждой функции.

1. Функции с $k > 0$: $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{4}{x}$

Для $y = \frac{1}{x}$ ($k=1$):

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y$	-0.25	-0.5	-1	-2	2	1	0.5	0.25

Для $y = \frac{4}{x}$ ($k=4$):

$x$	-8	-4	-2	-1	1	2	4	8
$y$	-0.5	-1	-2	-4	4	2	1	0.5

2. Функции с $k < 0$: $y = -\frac{2}{x}$ и $y = -\frac{6}{x}$

Для $y = -\frac{2}{x}$ ($k=-2$):

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y$	0.5	1	2	4	-4	-2	-1	-0.5

Для $y = -\frac{6}{x}$ ($k=-6$):

$x$	-6	-3	-2	-1	1	2	3	6
$y$	1	2	3	6	-6	-3	-2	-1

Нанесем точки из таблиц на координатную плоскость и соединим их плавными линиями. Все четыре графика построены в одной системе координат:

Обозначения на графике:

• Синий график: $y = \frac{1}{x}$
• Красный график: $y = \frac{4}{x}$
• Зеленый график: $y = -\frac{2}{x}$
• Фиолетовый график: $y = -\frac{6}{x}$

Как зависит расположение графика функции $y = \frac{k}{x}$ от модуля коэффициента $k$?

Проанализируем построенные графики, сравнивая функции с коэффициентами одного знака.

1. Для функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{4}{x}$ коэффициенты $k$ положительны. Модули коэффициентов равны $|k|=1$ и $|k|=4$. На графике видно, что ветви гиперболы $y = \frac{4}{x}$, у которой модуль коэффициента больше, расположены дальше от осей координат, чем ветви гиперболы $y = \frac{1}{x}$.

2. Для функций $y = -\frac{2}{x}$ и $y = -\frac{6}{x}$ коэффициенты $k$ отрицательны. Модули коэффициентов равны $|k|=|-2|=2$ и $|k|=|-6|=6$. Аналогично, график функции $y = -\frac{6}{x}$, у которой модуль коэффициента больше, расположен дальше от осей координат, чем график функции $y = -\frac{2}{x}$.

Таким образом, можно сделать общий вывод о том, что модуль коэффициента $k$ влияет на то, насколько ветви гиперболы "отдалены" от начала координат. При увеличении $|k|$ график как бы "растягивается" от центра.

Ответ: Чем больше значение модуля коэффициента $|k|$, тем дальше ветви гиперболы $y = \frac{k}{x}$ расположены от осей координат.