Номер 1166, страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1166, страница 260.

1166. Постройте в одной системе координат в первой координатной четверти графики функций у = х, у = х², у = x³, у =x

а) Укажите координаты точек, которые являются общими для всех этих графиков.

б) Опишите взаимное расположение этих графиков на отрезке [0; 1] и на луче [1; +∞).

в) Глядя на рисунок, расположите в порядке возрастания числа: 0,37; 0,37²; 0,37³; 0,37.

г) Расположите в порядке убывания числа: 4,6; 4,6²; 4,6³; 4,6.

a) (0;0) и (1;1)

б) на отрезке [0;1] $x^3<x^2<x<\sqrt{x};$

на луче [1;+∞) 

 

в) т.к. 0,37∈[0;1], то 0,37³; 0,37²; 0,37; $\sqrt{0,37}\backslash sqrt\{0,37\}$

 

г) т.к. 4,6∈[1;+∞), то 4,6³; 4,6²; 4,6; $\sqrt{4,6}\backslash sqrt\{4,6\}$

Для решения задачи сначала проанализируем поведение графиков функций $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$ и $y = \sqrt{x}$ в первой координатной четверти ($x \ge 0$).

$y = x$ - это прямая, являющаяся биссектрисой первого координатного угла.
$y = x^2$ - это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх.
$y = x^3$ - это кубическая парабола.
$y = \sqrt{x}$ - это верхняя ветвь параболы, ось которой совпадает с осью Ox.

а) Укажите координаты точек, которые являются общими для всех этих графиков.

Чтобы найти общие точки для всех четырех графиков, нужно найти решения системы уравнений $y = x = x^2 = x^3 = \sqrt{x}$. Для этого достаточно найти точки пересечения, например, графиков $y = x$ и $y = x^2$, а затем проверить, принадлежат ли эти точки остальным графикам.

Решим уравнение $x = x^2$: $x^2 - x = 0$ $x(x - 1) = 0$ Отсюда получаем два возможных значения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Теперь проверим эти точки для всех четырех функций:
Если $x = 0$, то $y = 0$, $y = 0^2 = 0$, $y = 0^3 = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Значит, точка $(0; 0)$ является общей для всех графиков.
Если $x = 1$, то $y = 1$, $y = 1^2 = 1$, $y = 1^3 = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Значит, точка $(1; 1)$ также является общей для всех графиков.

Ответ: $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

б) Опишите взаимное расположение этих графиков на отрезке [0; 1] и на луче [1; +?).

Взаимное расположение графиков зависит от того, как соотносятся значения функций $x, x^2, x^3, \sqrt{x}$ на разных промежутках.

На отрезке [0; 1]: Если взять любое число $x$ из интервала $(0; 1)$, то при возведении его в степень больше 1, оно уменьшится, а при извлечении корня — увеличится. Например, для $x=0.25$: $\sqrt{0.25}=0.5$, $0.25^2=0.0625$, $0.25^3 \approx 0.0156$. Таким образом, для любого $x \in (0; 1)$ справедливо неравенство: $x^3 < x^2 < x < \sqrt{x}$. Это значит, что на интервале $(0; 1)$ график функции $y = x^3$ лежит ниже всех, над ним — график $y = x^2$, еще выше — $y = x$, и самым верхним является график $y = \sqrt{x}$. В точках $x=0$ и $x=1$ все графики пересекаются.

На луче [1; +?): Если взять любое число $x > 1$, то при возведении его в степень больше 1, оно увеличится, а при извлечении корня — уменьшится. Например, для $x=4$: $\sqrt{4}=2$, $4^2=16$, $4^3=64$. Таким образом, для любого $x \in (1; +\infty)$ справедливо неравенство: $\sqrt{x} < x < x^2 < x^3$. Это значит, что на луче $(1; +\infty)$ график функции $y = \sqrt{x}$ лежит ниже всех, над ним — график $y = x$, еще выше — $y = x^2$, и самым верхним является график $y = x^3$. В точке $x=1$ все графики пересекаются.

Ответ: На отрезке $[0; 1]$ графики располагаются (снизу вверх) в порядке $y=x^3, y=x^2, y=x, y=\sqrt{x}$. На луче $[1; +\infty)$ графики располагаются (снизу вверх) в порядке $y=\sqrt{x}, y=x, y=x^2, y=x^3$.

в) Глядя на рисунок, расположите в порядке возрастания числа: 0,37; 0,37?; 0,37?; $\sqrt{0,37}$.

Эти числа представляют собой значения функций $y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$ и $y=\sqrt{x}$ в точке $x = 0,37$.

Так как $0 < 0,37 < 1$, мы находимся на отрезке $[0; 1]$. Как было установлено в пункте б), на этом интервале выполняется соотношение $x^3 < x^2 < x < \sqrt{x}$.

Подставив $x = 0,37$, получаем: $0,37^3 < 0,37^2 < 0,37 < \sqrt{0,37}$.

Ответ: $0,37^3$; $0,37^2$; $0,37$; $\sqrt{0,37}$.

г) Расположите в порядке убывания числа: 4,6; 4,6?; 4,6?; $\sqrt{4,6}$.

Эти числа представляют собой значения функций $y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$ и $y=\sqrt{x}$ в точке $x = 4,6$.

Так как $4,6 > 1$, мы находимся на луче $[1; +\infty)$. Как было установлено в пункте б), на этом луче выполняется соотношение $\sqrt{x} < x < x^2 < x^3$.

Подставив $x = 4,6$, получаем: $\sqrt{4,6} < 4,6 < 4,6^2 < 4,6^3$.

Записав это неравенство в обратном порядке для расположения чисел по убыванию, получим: $4,6^3 > 4,6^2 > 4,6 > \sqrt{4,6}$.

Ответ: $4,6^3$; $4,6^2$; $4,6$; $\sqrt{4,6}$.