Номер 1116, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Свойства линейной функции. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1116, страница 250.

1116. При каких значениях x функция y = f(x) обращается в нуль, принимает положительные и отрицательные значения, если:

а) f(x) = –0,7x + 350;

б) f(x) = 30x + 10?

Начертите схематически график функции и проиллюстрируйте на нём установленные свойства.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}f\left(x\right)=-0,7x+350 \\ -0,7x+350=0 \\ -0,7x=-350 \\ x=\frac{-350}{-\mathrm{0,7}} \\ x=\frac{3500}{7} \\ x=500 \end{gathered}$$

y=0 при x=500

y>0 при x∈(-∞;500)

y<0 при x∈(500;+∞)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}f\left(x\right)=30x+10 \\ 30x+10=0 \\ 30x=-10 \\ x=\frac{-10}{30} \\ x=-\frac{1}{3} \end{gathered}$$ 

y=0 при $x=-\frac{1}{3}$

y>0 при $x\in \left(-\frac{1}{3}; +\mathrm{\infty }\right)$

y<0 при $x\in \left(-\mathrm{\infty }; -\frac{1}{3}\right)x\; \backslash in\; (-\backslash infty;-\backslash frac\{1\}\{3\})$

а) $f(x) = -0,7x + 350$

Для анализа функции $y = f(x)$ найдем ее нули, а также промежутки, где она положительна или отрицательна.

1. Нули функции (когда $f(x) = 0$):
Приравниваем функцию к нулю и решаем уравнение:

$-0,7x + 350 = 0$

$-0,7x = -350$

$x = \frac{-350}{-0,7} = \frac{3500}{7} = 500$

Функция обращается в нуль при $x = 500$. Это точка пересечения графика с осью Ox.

2. Положительные значения (когда $f(x) > 0$):
Решаем неравенство:

$-0,7x + 350 > 0$

$-0,7x > -350$

При делении на отрицательное число ($-0,7$) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-350}{-0,7}$

$x < 500$

Функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; 500)$.

3. Отрицательные значения (когда $f(x) < 0$):
Решаем неравенство:

$-0,7x + 350 < 0$

$-0,7x < -350$

$x > \frac{-350}{-0,7}$

$x > 500$

Функция принимает отрицательные значения при $x \in (500; +\infty)$.

Схематический график функции
График функции $y = -0,7x + 350$ — это прямая. Так как угловой коэффициент $k = -0,7 < 0$, функция является убывающей. График пересекает ось Ox в точке $(500, 0)$ и ось Oy в точке $(0, 350)$.

Ответ: функция обращается в нуль при $x = 500$, принимает положительные значения при $x < 500$, принимает отрицательные значения при $x > 500$.

---

б) $f(x) = 30x + 10$

Аналогично проведем анализ для второй функции.

1. Нули функции (когда $f(x) = 0$):

$30x + 10 = 0$

$30x = -10$

$x = -\frac{10}{30} = -\frac{1}{3}$

Функция обращается в нуль при $x = -1/3$.

2. Положительные значения (когда $f(x) > 0$):

$30x + 10 > 0$

$30x > -10$

$x > -\frac{1}{3}$

Функция принимает положительные значения при $x \in (-1/3; +\infty)$.

3. Отрицательные значения (когда $f(x) < 0$):

$30x + 10 < 0$

$30x < -10$

$x < -\frac{1}{3}$

Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; -1/3)$.

Схематический график функции
График функции $y = 30x + 10$ — это прямая. Так как угловой коэффициент $k = 30 > 0$, функция является возрастающей. График пересекает ось Ox в точке $(-1/3, 0)$ и ось Oy в точке $(0, 10)$.

Ответ: функция обращается в нуль при $x = -1/3$, принимает положительные значения при $x > -1/3$, принимает отрицательные значения при $x < -1/3$.