Номер 971, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 971, страница 215.

971. Решите графически уравнение 12x= x².

$$\begin{gathered} \frac{12}{x}=x^2 \\ y=\frac{12}{x} \end{gathered}$$

x	1	2	3	4	6	12	-1	-2	-3	-4	-6	-12
y	12	6	4	3	2	1	-12	-6	-4	-3	-2	-1

 $y=x^2$

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
y	0	1	4	9	1	4	9

x≈2,3

Ответ: ≈2,3

Для графического решения уравнения $\frac{12}{x} = x^2$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{12}{x}$ и $y = x^2$. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет являться решением уравнения.

Сначала построим график функции $y = x^2$. Это парабола, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Составим таблицу ключевых точек для этой функции:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y=x^2$	9	4	1	0	1	4	9

Далее построим график функции $y = \frac{12}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Составим таблицу ключевых точек для этой функции:

$x$	-6	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4	6
$y=\frac{12}{x}$	-2	-3	-4	-6	-12	12	6	4	3	2

Теперь нанесем графики на одну координатную плоскость. Парабола $y = x^2$ расположена в I и II четвертях ($y \ge 0$), а гипербола $y = \frac{12}{x}$ — в I и III четвертях. Следовательно, их пересечение возможно только в I координатной четверти, где $x > 0$ и $y > 0$.

Из построенных графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Определим её примерную абсциссу. При $x=2$ значение функции $y=x^2$ равно 4, а значение функции $y=\frac{12}{x}$ равно 6. При $x=3$ значение параболы равно 9, а значение гиперболы равно 4. Это значит, что точка пересечения находится на интервале $x \in (2, 3)$. По графику можно определить, что абсцисса точки пересечения примерно равна 2.3.

Для проверки найдем точное решение. Уравнение $\frac{12}{x} = x^2$ при $x \neq 0$ равносильно уравнению $x^3 = 12$. Отсюда $x = \sqrt[3]{12}$. Поскольку $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, то корень $x = \sqrt[3]{12}$ действительно находится между 2 и 3. Значение $x \approx 2.3$ является хорошим графическим приближением (более точное значение $x \approx 2.29$).

Ответ: $x \approx 2.3$