Номер 973, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 973, страница 218.

973. Является ли число 3 решением системы неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}6x-1>x\\ 4x-32<3x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6·3-1>3\\ 4·3-32<3·3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}17>3\text{ - верно}\\ -20<9\text{ - верно}\end{array}\right.$

Ответ: да

б) $\left\{\begin{array}{l}7x<5x+7\\ 3x-1>5-x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}7·3<5·3+7\\ 3·3-1>5-3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}21<22\text{ - верно}\\ 8>2\text{ - верно}\end{array}\right.$

Ответ: да

в) $\left\{\begin{array}{l}5x+4<20\\ 3-2x>-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}5·3+4<20\\ 3-2·3>-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}19<20\text{ - верно}\\ -3>-1\text{ - неверно}\end{array}\right.$

Ответ: нет

Чтобы проверить, является ли число 3 решением системы неравенств, необходимо подставить значение $x=3$ в каждое неравенство, входящее в систему. Число будет являться решением системы только в том случае, если оно обращает в верное числовое неравенство каждое из неравенств системы.

а) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 6x - 1 > x, \\ 4x - 32 < 3x \end{cases} $$ Подставим $x=3$ в каждое неравенство:
1) Первое неравенство: $6 \cdot 3 - 1 > 3 \implies 18 - 1 > 3 \implies 17 > 3$. Это верное неравенство.
2) Второе неравенство: $4 \cdot 3 - 32 < 3 \cdot 3 \implies 12 - 32 < 9 \implies -20 < 9$. Это также верное неравенство.
Так как оба неравенства при подстановке $x=3$ обратились в верные числовые неравенства, число 3 является решением данной системы.
Ответ: да, является.

б) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 7x < 5x + 7, \\ 3x - 1 > 5 - x \end{cases} $$ Подставим $x=3$ в каждое неравенство:
1) Первое неравенство: $7 \cdot 3 < 5 \cdot 3 + 7 \implies 21 < 15 + 7 \implies 21 < 22$. Это верное неравенство.
2) Второе неравенство: $3 \cdot 3 - 1 > 5 - 3 \implies 9 - 1 > 2 \implies 8 > 2$. Это также верное неравенство.
Так как оба неравенства верны, число 3 является решением данной системы.
Ответ: да, является.

в) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 5x + 4 < 20, \\ 3 - 2x > -1 \end{cases} $$ Подставим $x=3$ в каждое неравенство:
1) Первое неравенство: $5 \cdot 3 + 4 < 20 \implies 15 + 4 < 20 \implies 19 < 20$. Это верное неравенство.
2) Второе неравенство: $3 - 2 \cdot 3 > -1 \implies 3 - 6 > -1 \implies -3 > -1$. Это неверное неравенство, так как $-3$ меньше, чем $-1$.
Так как одно из неравенств системы при $x=3$ обратилось в неверное числовое неравенство, число 3 не является решением данной системы.
Ответ: нет, не является.