Номер 1041, страница 230 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1041, страница 230.

1041. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\frac{x-0,5}{4}+\frac{x-0,25}{4}+\frac{x-0,125}{8}<0 /·8 \\ 2(x-0,5)+2(x-0,25)+x-0,125<0 \\ 2x-1+2x-0,5+x-0,125<0 \\ 5x-1,625<0 \\ 5x<1,625 \\ x<0,325 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\infty ; 0,325)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{5-x}{3}-\frac{1-x}{2}>1 /·6 \\ 2(5-x)-3(1-x)>6 \\ 10-2x-3+3x>\mathrm{6 } \\ 7+x>6 \\ x>-1 \end{gathered}$$

Ответ: $( - 1 ; + \infty )$

а)

Дано неравенство: $ \frac{x - 0,5}{4} + \frac{x - 0,25}{4} + \frac{x - 0,125}{8} < 0 $

Для решения этого линейного неравенства приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 8 равен 8. Умножим обе части неравенства на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$ 8 \cdot \left( \frac{x - 0,5}{4} + \frac{x - 0,25}{4} + \frac{x - 0,125}{8} \right) < 8 \cdot 0 $

$ \frac{8 \cdot (x - 0,5)}{4} + \frac{8 \cdot (x - 0,25)}{4} + \frac{8 \cdot (x - 0,125)}{8} < 0 $

Выполним сокращение дробей:

$ 2(x - 0,5) + 2(x - 0,25) + 1(x - 0,125) < 0 $

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$ 2x - 1 + 2x - 0,5 + x - 0,125 < 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (2x + 2x + x) + (-1 - 0,5 - 0,125) < 0 $

$ 5x - 1,625 < 0 $

Перенесем число -1,625 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$ 5x < 1,625 $

Разделим обе части неравенства на 5:

$ x < \frac{1,625}{5} $

$ x < 0,325 $

Ответ: $x < 0,325$.

б)

Дано неравенство: $ \frac{5 - x}{3} - \frac{1 - x}{2} > 1 $

Найдем общий знаменатель для дробей в левой части. Наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 2 равен 6. Умножим обе части неравенства на 6. Знак неравенства сохранится, так как 6 > 0.

$ 6 \cdot \left( \frac{5 - x}{3} - \frac{1 - x}{2} \right) > 6 \cdot 1 $

$ \frac{6 \cdot (5 - x)}{3} - \frac{6 \cdot (1 - x)}{2} > 6 $

Выполним сокращение дробей:

$ 2(5 - x) - 3(1 - x) > 6 $

Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью:

$ 10 - 2x - (3 - 3x) > 6 $

$ 10 - 2x - 3 + 3x > 6 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (-2x + 3x) + (10 - 3) > 6 $

$ x + 7 > 6 $

Перенесем число 7 в правую часть, изменив его знак:

$ x > 6 - 7 $

$ x > -1 $

Ответ: $x > -1$.