Номер 1037, страница 230 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1037, страница 230.

1037. Является ли число 19 решением неравенства x ‹ 5? Укажите какое-нибудь число, большее 19, удовлетворяющее этому неравенству.

$$\begin{gathered} x<5; x<\sqrt{25} \\ x=\sqrt{19}; \sqrt{19}<\sqrt{25} \\ \sqrt{21}>\sqrt{19}; \sqrt{21}<\sqrt{25}; \sqrt{21}<5 \end{gathered}$$

Ответ: является: $\sqrt{21}\backslash sqrt\{21\}$

Является ли число $\sqrt{19}$ решением неравенства $x < 5$?

Чтобы проверить, является ли число $\sqrt{19}$ решением неравенства $x < 5$, нужно подставить значение $\sqrt{19}$ вместо $x$ и определить, является ли полученное неравенство верным.

Подставляем:

$\sqrt{19} < 5$

Для того чтобы сравнить иррациональное число $\sqrt{19}$ с целым числом $5$, можно возвести обе части неравенства в квадрат. Поскольку оба числа ($\sqrt{19}$ и $5$) положительные, знак неравенства при возведении в квадрат сохранится.

$(\sqrt{19})^2 < 5^2$

Выполняем вычисления:

$19 < 25$

Мы получили верное числовое неравенство, так как $19$ действительно меньше $25$. Это означает, что исходное неравенство $\sqrt{19} < 5$ также является верным.

Ответ: Да, число $\sqrt{19}$ является решением неравенства $x < 5$.

Укажите какое-нибудь число, большее $\sqrt{19}$, удовлетворяющее этому неравенству.

Нам необходимо найти число $y$, которое одновременно удовлетворяет двум условиям:

1. $y > \sqrt{19}$

2. $y < 5$

Другими словами, нам нужно найти любое число, которое находится на числовой прямой между $\sqrt{19}$ и $5$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $\sqrt{19} < y < 5$.

Представим число $5$ в виде корня, чтобы было удобнее сравнивать: $5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.

Теперь наше неравенство выглядит так: $\sqrt{19} < y < \sqrt{25}$.

Мы можем выбрать любое число, квадрат которого лежит в интервале от $19$ до $25$. Например, мы можем взять число $\sqrt{20}$.

Проверим его: $\sqrt{19} < \sqrt{20}$ (верно, так как $19 < 20$) и $\sqrt{20} < \sqrt{25}$ (верно, так как $20 < 25$).

В качестве другого примера можно взять рациональное число. Мы знаем, что $4^2=16$ и $5^2=25$, значит, $\sqrt{19}$ находится между $4$ и $5$. Оценим его точнее: $4.3^2 = 18.49$, а $4.4^2 = 19.36$. Значит, $\sqrt{19}$ немного больше чем $4.3$. Возьмем, например, число $4.5$.

Проверим его: $4.5 > \sqrt{19}$ (верно, так как $4.5^2=20.25$, а $20.25 > 19$) и $4.5 < 5$ (верно).

Ответ: Таким числом может быть, например, $\sqrt{20}$ или $4.5$.