Номер 1038, страница 230 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1038, страница 230.

1038. Является ли число 11 решением неравенства x > 3? Укажите какое-нибудь число, меньшее 11, удовлетворяющее этому неравенству.

$$\begin{gathered} x>3; x>\sqrt{9} \\ x=\sqrt{11}; \sqrt{11}>\sqrt{9} \\ \sqrt{10}<\sqrt{11}; \sqrt{10}>\sqrt{9}; \sqrt{10}>3 \end{gathered}$$

Ответ: является: $\sqrt{10}\backslash sqrt\{10\}$

Является ли число $\sqrt{11}$ решением неравенства $x > 3$?

Чтобы определить, является ли число $\sqrt{11}$ решением неравенства $x > 3$, необходимо подставить это значение вместо $x$ и проверить истинность полученного числового неравенства.

Подставляем $x = \sqrt{11}$ в неравенство: $$ \sqrt{11} > 3 $$

Для сравнения иррационального числа $\sqrt{11}$ с натуральным числом $3$, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, поскольку оба числа положительны. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\sqrt{11})^2 = 11$
$3^2 = 9$

Сравниваем полученные результаты: $$ 11 > 9 $$

Так как неравенство $11 > 9$ является верным, то и исходное неравенство $\sqrt{11} > 3$ также является верным. Это означает, что число $\sqrt{11}$ удовлетворяет данному неравенству.

Ответ: Да, число $\sqrt{11}$ является решением неравенства $x > 3$.

Укажите какое-нибудь число, меньшее $\sqrt{11}$, удовлетворяющее этому неравенству.

Нам необходимо найти такое число $y$, которое удовлетворяет системе из двух неравенств: $$ \begin{cases} y < \sqrt{11} \\ y > 3 \end{cases} $$

Это равносильно нахождению числа $y$, лежащего в интервале $(3; \sqrt{11})$. Чтобы было удобнее найти такое число, представим $3$ в виде корня: $3 = \sqrt{9}$.

Теперь задача сводится к поиску числа $y$, для которого выполняется двойное неравенство: $$ \sqrt{9} < y < \sqrt{11} $$

Мы можем выбрать любое число, квадрат которого находится между $9$ и $11$. Например, возьмем число $10$. Так как $9 < 10 < 11$, то, извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{11}$.

Таким образом, число $\sqrt{10}$ удовлетворяет условиям: $\sqrt{10} > 3$ и $\sqrt{10} < \sqrt{11}$.

Также можно было выбрать и десятичную дробь. Например, $3.2$. Проверим: $3.2 > 3$. Возведем в квадрат: $3.2^2 = 10.24$. Так как $10.24 < 11$, то и $3.2 < \sqrt{11}$. Следовательно, $3.2$ также является подходящим числом. Существует бесконечно много таких чисел.

Ответ: $\sqrt{10}$.