Номер 1149, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1149, страница 257.

1149. Начертите график какой-нибудь функции, областью определения которой является промежуток [–3; 4], а множеством значений — промежуток [0; 6].

D(f)=[-3;4]

E(f)=[0;6]

Для построения графика функции необходимо выполнить два условия:

1. Область определения функции должна быть промежутком $[-3; 4]$. Это означает, что график должен существовать только для значений $x$ в этом диапазоне, включая концы. Графически проекция всех точек графика на ось $Ox$ должна полностью совпадать с отрезком $[-3; 4]$.
2. Множество значений функции должно быть промежутком $[0; 6]$. Это означает, что наименьшее значение функции (самая низкая точка графика) должно быть $y=0$, а наибольшее (самая высокая точка) — $y=6$. При этом функция должна принимать все возможные значения между 0 и 6. Графически проекция всех точек графика на ось $Oy$ должна полностью совпадать с отрезком $[0; 6]$.

Существует бесконечно много функций, удовлетворяющих этим условиям. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Линейная функция

Самый простой способ — построить отрезок прямой линии, соединяющий две точки. Чтобы удовлетворить условиям, выберем конечные точки отрезка так, чтобы их координаты по $x$ были концами области определения ($-3$ и $4$), а координаты по $y$ — концами множества значений ($0$ и $6$).

Пусть наш график — это отрезок, соединяющий точки с координатами $(-3, 0)$ и $(4, 6)$.

• Когда $x$ изменяется от $-3$ до $4$, мы покрываем всю область определения $[-3; 4]$.
• Поскольку функция непрерывно возрастает, значения $y$ будут плавно изменяться от $0$ до $6$, покрывая все множество значений $[0; 6]$.

График выглядит следующим образом:

Ответ: График представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(-3, 0)$ и $(4, 6).

Пример 2: Кусочно-линейная функция

Можно построить график, который не является монотонным. Например, он может сначала убывать, а затем возрастать. Главное, чтобы минимальное значение было $0$, а максимальное — $6$.

Построим ломаную линию, проходящую через три ключевые точки:

1. Начальная точка на левой границе области определения: $(-3, 6)$. Здесь достигается максимальное значение.
2. Точка, в которой достигается минимальное значение: $(1, 0)$.
3. Конечная точка на правой границе области определения: $(4, 3)$.

Соединим эти точки отрезками. На промежутке $[-3; 1]$ функция убывает от $6$ до $0$. На промежутке $[1; 4]$ функция возрастает от $0$ до $3$.

• Область определения: $x$ изменяется от $-3$ до $4$, что соответствует $[-3; 4]$.
• Множество значений: значения $y$ сначала покрывают промежуток $[0; 6]$ (при убывании), а затем $[0; 3]$ (при возрастании). Объединение этих множеств дает $[0; 6]$, что соответствует требуемому условию.

График выглядит следующим образом:

Ответ: График представляет собой ломаную линию, соединяющую последовательно точки $(-3, 6)$, $(1, 0)$ и $(4, 3)$.

Пример 3: Криволинейный график (часть параболы)

Можно использовать и кривую линию, например, часть параболы. Построим параболу с ветвями вверх, вершина которой будет точкой минимума функции.

Пусть вершина параболы находится в точке $(1, 0)$. Тогда уравнение параболы имеет вид $y = a(x-1)^2$, где $a > 0$. Чтобы найти $a$, нужно, чтобы максимальное значение $y=6$ достигалось на одной из границ области определения: при $x=-3$ или $x=4$. Расстояние от оси симметрии $x=1$ до $x=-3$ равно $|-3-1|=4$, а до $x=4$ равно $|4-1|=3$. Так как $4 > 3$, максимальное значение будет при $x=-3$.

Подставим точку $(-3, 6)$ в уравнение:

$6 = a(-3-1)^2$

$6 = a(-4)^2$

$6 = 16a$

$a = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

Таким образом, функция $y = \frac{3}{8}(x-1)^2$ на отрезке $[-3; 4]$ удовлетворяет всем условиям.

• Область определения: по построению $[-3; 4]$.
• Множество значений: минимум достигается в вершине $(1, 0)$ и равен $0$. Максимум достигается на конце отрезка в точке $(-3, 6)$ и равен $6$. Все значения между $0$ и $6$ принимаются.

График выглядит следующим образом:

Ответ: График функции $y = \frac{3}{8}(x-1)^2$ на промежутке $[-3; 4]$.