Номер 1143, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Целая и дробная части числа. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1143, страница 256.

1143. Постройте график функции y = –{x}.

y=-{x}

Для построения графика функции $y = -\{x\}$ необходимо сначала разобраться, что такое $\{x\}$.

Выражение $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$. Дробная часть числа определяется как разность между самим числом $x$ и его целой частью $[x]$ (наибольшим целым числом, не превосходящим $x$). Таким образом, по определению:$$ \{x\} = x - [x] $$Область значений функции дробной части — полуинтервал $[0, 1)$, то есть:$$ 0 \le \{x\} < 1 $$Функция $\{x\}$ является периодической с периодом $T=1$.

Теперь рассмотрим заданную функцию $y = -\{x\}$.Так как $0 \le \{x\} < 1$, то, умножив все части неравенства на $-1$, получим:$$ -1 < -\{x\} \le 0 $$Следовательно, область значений функции $y = -\{x\}$ — это полуинтервал $(-1, 0]$.Функция $y = -\{x\}$ также является периодической с периодом $T=1$.

Для построения графика достаточно построить его на любом промежутке длиной 1, например, на $[0, 1)$, а затем продолжить периодически.

Рассмотрим промежуток $x \in [0, 1)$. На этом промежутке целая часть числа $x$ равна нулю: $[x] = 0$. Тогда дробная часть $\{x\} = x - [x] = x - 0 = x$. Следовательно, на промежутке $[0, 1)$ функция принимает вид:$$ y = -x $$Это уравнение прямой. Найдем значения на концах промежутка. При $x = 0$ получаем $y = -0 = 0$, поэтому точка $(0, 0)$ принадлежит графику. Когда $x$ стремится к $1$ слева ($x \to 1^-$), $y$ стремится к $-1$. Точка $(1, -1)$ не принадлежит графику, так как $x < 1$, и в этой точке на графике будет "выколотая" точка. Таким образом, на промежутке $[0, 1)$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(0, 0)$ (включительно) и точку $(1, -1)$ (исключительно).

Используя периодичность функции с периодом $T=1$, мы можем получить весь график, сдвигая построенный отрезок вдоль оси $x$ на целые числа. Например, на промежутке $[1, 2)$ имеем $[x]=1$, $\{x\} = x - 1$, и $y = -(x - 1) = 1 - x$. Это отрезок от точки $(1, 0)$ до $(2, -1)$ (выколота). На промежутке $[2, 3)$ получаем $y = 2 - x$, что является отрезком от точки $(2, 0)$ до $(3, -1)$ (выколота). Аналогично, на промежутке $[-1, 0)$ имеем $y = -x - 1$, что является отрезком от точки $(-1, 0)$ до $(0, -1)$ (выколота).

В общем виде, для любого целого $n$, на промежутке $[n, n+1)$ имеем:$$ [x] = n $$$$ \{x\} = x - n $$$$ y = -(x - n) = n - x $$График функции состоит из бесконечного множества параллельных отрезков. Каждый отрезок имеет наклон $-1$ и соединяет точку $(n, 0)$ (включительно) с точкой $(n+1, -1)$ (исключительно), где $n$ — любое целое число.

Ответ: График функции $y = -\{x\}$ представляет собой совокупность отрезков. Для каждого целого числа $n$ на полуинтервале $[n, n+1)$ график является отрезком прямой $y = n - x$. Этот отрезок соединяет точку с координатами $(n, 0)$ (которая принадлежит графику) и точку с координатами $(n+1, -1)$ (которая не принадлежит графику). Все отрезки параллельны друг другу и имеют угловой коэффициент $-1$.