Номер 1158, страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1158, страница 259.

1158. Функция задана формулой у = 3,5х – 7. Задайте формулой какую-нибудь линейную функцию, график которой пересекает график первой функции:

а) в точке, расположенной в третьей координатной четверти;

б) в точке, расположенной на оси х;

в) в точке, расположенной на оси у.

y=3,5x-7

а) y=-3,5x-14

б) y=-3,5x-7

в) y=2,5x-5

Исходная функция — это линейная функция, заданная формулой $y = 3,5x - 7$. Общий вид линейной функции — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью $y$. Для нашей функции $k = 3,5$ и $b = -7$.

Чтобы графики двух линейных функций пересекались, их угловые коэффициенты должны быть различны. То есть для искомой функции $y_1 = k_1x + b_1$ должно выполняться условие $k_1 \neq 3,5$. В каждом пункте мы найдем точку, удовлетворяющую условию, а затем проведем через нее новую прямую с другим угловым коэффициентом.

а) в точке, расположенной в третьей координатной четверти;

Точка находится в третьей координатной четверти, если обе ее координаты (абсцисса $x$ и ордината $y$) отрицательны, то есть $x < 0$ и $y < 0$.

1. Найдем любую точку на графике функции $y = 3,5x - 7$, которая лежит в третьей четверти. Для этого выберем любое отрицательное значение $x$. Например, пусть $x = -2$.

2. Вычислим соответствующее значение $y$:
$y = 3,5 \cdot (-2) - 7 = -7 - 7 = -14$.

3. Мы получили точку пересечения $(-2; -14)$. Обе ее координаты отрицательны ($x=-2 < 0$, $y=-14 < 0$), значит, точка находится в третьей четверти.

4. Теперь зададим новую линейную функцию $y_1 = k_1x + b_1$, график которой также проходит через эту точку. Для этого выберем любой угловой коэффициент $k_1$, не равный $3,5$. Например, пусть $k_1 = 1$.

5. Подставим координаты точки $(-2; -14)$ и значение $k_1 = 1$ в уравнение новой функции, чтобы найти $b_1$:
$-14 = 1 \cdot (-2) + b_1$
$-14 = -2 + b_1$
$b_1 = -14 + 2 = -12$.

6. Таким образом, мы получили формулу для искомой линейной функции: $y = x - 12$.
Ответ: $y = x - 12$.

б) в точке, расположенной на оси x;

Точка лежит на оси $x$, если ее ордината $y$ равна нулю.

1. Найдем точку пересечения графика функции $y = 3,5x - 7$ с осью $x$. Для этого приравняем $y$ к нулю:
$0 = 3,5x - 7$
$3,5x = 7$
$x = \frac{7}{3,5} = 2$.

2. Точка пересечения — $(2; 0)$.

3. Зададим новую линейную функцию $y_1 = k_1x + b_1$, которая проходит через эту точку. Выберем угловой коэффициент $k_1 \neq 3,5$. Например, пусть $k_1 = -1$.

4. Подставим координаты точки $(2; 0)$ и значение $k_1 = -1$ в уравнение новой функции, чтобы найти $b_1$:
$0 = -1 \cdot 2 + b_1$
$0 = -2 + b_1$
$b_1 = 2$.

5. Таким образом, формула для искомой функции: $y = -x + 2$.
Ответ: $y = -x + 2$.

в) в точке, расположенной на оси y.

Точка лежит на оси $y$, если ее абсцисса $x$ равна нулю.

1. Найдем точку пересечения графика функции $y = 3,5x - 7$ с осью $y$. Для этого подставим $x = 0$ в уравнение:
$y = 3,5 \cdot 0 - 7 = -7$.

2. Точка пересечения — $(0; -7)$.

3. Зададим новую линейную функцию $y_1 = k_1x + b_1$, которая проходит через эту точку. Любая прямая, проходящая через точку $(0; -7)$, имеет в своем уравнении $b_1 = -7$.

4. Нам нужно лишь выбрать угловой коэффициент $k_1$, не равный $3,5$. Например, пусть $k_1 = 2$.

5. Таким образом, формула для искомой функции: $y = 2x - 7$.
Ответ: $y = 2x - 7$.