Номер 1153, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1153, страница 258.

1153. Докажите тождество

$\sqrt{\frac{a^2 + 6ab + 25b^2}{a - 2\sqrt{ab} + 5b}} - 4b = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение имеет смысл при $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Знаменатель дроби $a - 2\sqrt{ab} + 5b$ не должен быть равен нулю. Преобразуем его, выделив полный квадрат:$a - 2\sqrt{ab} + 5b = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 + 4b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + 4b$.Так как $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ и $4b \ge 0$ (по ОДЗ), их сумма равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю. Это происходит при $b=0$ и $\sqrt{a}=\sqrt{b}$, что означает $a=0$. Таким образом, знаменатель обращается в ноль только при $a=b=0$, и в этой точке исходное выражение не определено. При всех остальных допустимых значениях $a$ и $b$ знаменатель строго больше нуля.

Теперь преобразуем выражение под внешним корнем в левой части тождества. Приведем его к общему знаменателю:$$ \frac{a^2 + 6ab + 25b^2}{a - 2\sqrt{ab} + 5b} - 4b = \frac{a^2 + 6ab + 25b^2 - 4b(a - 2\sqrt{ab} + 5b)}{a - 2\sqrt{ab} + 5b} $$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:$$ a^2 + 6ab + 25b^2 - 4ab + 8b\sqrt{ab} - 20b^2 = a^2 + (6ab - 4ab) + (25b^2 - 20b^2) + 8b\sqrt{ab} = a^2 + 2ab + 5b^2 + 8b\sqrt{ab} $$

Таким образом, левая часть тождества принимает вид:$$ \sqrt{\frac{a^2 + 2ab + 5b^2 + 8b\sqrt{ab}}{a - 2\sqrt{ab} + 5b}} $$

Покажем, что числитель полученной дроби можно разложить на множители. Проверим, является ли он произведением знаменателя $(a - 2\sqrt{ab} + 5b)$ и выражения $(a + 2\sqrt{ab} + b)$, которое равно квадрату правой части исходного тождества $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$.Выполним проверку умножением:$$ (a - 2\sqrt{ab} + 5b)(a + 2\sqrt{ab} + b) = a(a + 2\sqrt{ab} + b) - 2\sqrt{ab}(a + 2\sqrt{ab} + b) + 5b(a + 2\sqrt{ab} + b) $$$$ = a^2 + 2a\sqrt{ab} + ab - 2a\sqrt{ab} - 4ab - 2b\sqrt{ab} + 5ab + 10b\sqrt{ab} + 5b^2 $$Приведем подобные слагаемые:$$ = a^2 + (ab - 4ab + 5ab) + (2a\sqrt{ab} - 2a\sqrt{ab}) + (10b\sqrt{ab} - 2b\sqrt{ab}) + 5b^2 $$$$ = a^2 + 2ab + 8b\sqrt{ab} + 5b^2 $$Результат совпадает с полученным ранее числителем. Таким образом, подкоренное выражение можно переписать как:$$ \frac{(a + 2\sqrt{ab} + b)(a - 2\sqrt{ab} + 5b)}{a - 2\sqrt{ab} + 5b} $$

Так как знаменатель $a - 2\sqrt{ab} + 5b > 0$ при допустимых значениях $a$ и $b$ (не равных нулю одновременно), мы можем сократить дробь:$$ a + 2\sqrt{ab} + b $$

Это выражение является формулой полного квадрата суммы:$$ a + 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 $$

Возвращаясь к левой части исходного тождества, имеем:$$ \sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} $$

Поскольку по ОДЗ $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$, а значит, их сумма $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ge 0$. Следовательно:$$ \sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = |\sqrt{a} + \sqrt{b}| = \sqrt{a} + \sqrt{b} $$

Мы показали, что левая часть тождества равна его правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.