Номер 1150, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1150, страница 258.

1150. Постройте график уравнения:

а) $xy + 3x = 0;$

б) $(x - y)(y - 5) = 0;$

в) $(xy - 6)(y - 3) = 0;$

г) $(x - y)^2 + (x - 1)^2 = 0;$

д) $x^2 - 4 = 0;$

е) $y^2 - 9 = 0.$

а) $xy + 3x = 0$

Для построения графика преобразуем данное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(y + 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x = 0$ или $y + 3 = 0$

Из второго уравнения получаем $y = -3$.

Таким образом, график исходного уравнения состоит из двух прямых:

1. $x = 0$ — это уравнение оси ординат (оси OY).

2. $y = -3$ — это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси абсцисс (оси OX) и проходящей через точку $(0, -3)$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух прямых: оси ординат ($x=0$) и горизонтальной прямой $y=-3$.

б) $(x - y)(y - 5) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - y = 0$ или $y - 5 = 0$

Преобразуем каждое уравнение:

1. $x - y = 0 \implies y = x$. Это уравнение прямой, являющейся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

2. $y - 5 = 0 \implies y = 5$. Это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси OX и проходящей через точку $(0, 5)$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух прямых: $y=x$ и $y=5$.

в) $(xy - 6)(y - 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$xy - 6 = 0$ или $y - 3 = 0$

Рассмотрим каждое уравнение:

1. $xy - 6 = 0 \implies xy = 6 \implies y = \frac{6}{x}$. Это уравнение гиперболы с ветвями в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптотами гиперболы являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

2. $y - 3 = 0 \implies y = 3$. Это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси OX и проходящей через точку $(0, 3)$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение гиперболы $y = \frac{6}{x}$ и горизонтальной прямой $y=3$.

г) $(x - y)^2 + (x - 1)^2 = 0$

В левой части уравнения стоит сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x - y)^2 \ge 0$ и $(x - 1)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$\begin{cases} (x - y)^2 = 0 \\ (x - 1)^2 = 0 \end{cases}$

Извлекая квадратный корень из обоих частей каждого уравнения, получаем:

$\begin{cases} x - y = 0 \\ x - 1 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $x = 1$. Подставляя это значение в первое уравнение, получаем $1 - y = 0$, откуда $y = 1$.

Система имеет единственное решение: $x=1, y=1$.

Ответ: Графиком уравнения является одна точка с координатами $(1, 1)$.

д) $x^2 - 4 = 0$

Это уравнение зависит только от переменной $x$. Решим его:

$x^2 = 4$

$x = \sqrt{4}$ или $x = -\sqrt{4}$

$x = 2$ или $x = -2$

Данное уравнение можно также разложить на множители по формуле разности квадратов: $(x-2)(x+2)=0$.

Каждое из уравнений $x=2$ и $x=-2$ задает на координатной плоскости вертикальную прямую, параллельную оси OY. Переменная $y$ может принимать любое значение.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух вертикальных прямых: $x=2$ и $x=-2$.

е) $y^2 - 9 = 0$

Это уравнение зависит только от переменной $y$. Решим его:

$y^2 = 9$

$y = \sqrt{9}$ или $y = -\sqrt{9}$

$y = 3$ или $y = -3$

Данное уравнение можно также разложить на множители: $(y-3)(y+3)=0$.

Каждое из уравнений $y=3$ и $y=-3$ задает на координатной плоскости горизонтальную прямую, параллельную оси OX. Переменная $x$ может принимать любое значение.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух горизонтальных прямых: $y=3$ и $y=-3$.