Номер 1152, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1152, страница 258.

1152. На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько точек отмечено на плоскости, если известно, что всего проведено 45 прямых?

Пусть $n$ — это количество отмеченных на плоскости точек.

По условию задачи, никакие три точки не лежат на одной прямой. Это означает, что каждая пара точек однозначно определяет одну прямую. Таким образом, количество проведенных прямых равно количеству способов выбрать 2 точки из $n$ имеющихся точек.

Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по 2. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае мы выбираем пары точек, поэтому $k=2$. Формула для числа прямых упрощается:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Из условия известно, что всего проведено 45 прямых. Мы можем составить и решить уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 45$

Для решения этого уравнения умножим обе части на 2:

$n(n-1) = 90$

Мы получили квадратное уравнение. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$n^2 - n - 90 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант. Для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-(-1) + 19}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{-(-1) - 19}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку $n$ представляет собой количество точек, оно не может быть отрицательным числом. Следовательно, корень $n_2 = -9$ не является решением задачи. Единственное подходящее решение — $n = 10$.

Выполним проверку: если на плоскости отмечено 10 точек, то число прямых, которые можно через них провести, равно $\frac{10 \cdot (10-1)}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$. Это полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 10 точек.