Номер 1146, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1146, страница 257.

1146. Пересекает ли график функции $y = \frac{3x+1}{x}$ прямую:

а) $x = 0$;

б) $y = 0$;

в) $x = 3$;

г) $y = 3$?

Для того чтобы определить, пересекает ли график функции $y = \frac{3x+1}{x}$ заданную прямую, необходимо проверить, существует ли общая точка $(x, y)$, координаты которой удовлетворяют и уравнению функции, и уравнению прямой.

а) $x = 0$

Проверим, определена ли функция при $x=0$. Область определения функции $y = \frac{3x+1}{x}$ — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. В данном случае знаменатель равен $x$, поэтому $x \neq 0$. Так как значение $x=0$ не входит в область определения функции, график функции не может пересекать прямую $x=0$ (ось ординат). Эта прямая является вертикальной асимптотой для графика функции.

Ответ: не пересекает.

б) $y = 0$

Чтобы найти точки пересечения с прямой $y=0$ (осью абсцисс), подставим $y=0$ в уравнение функции и решим полученное уравнение относительно $x$:
$0 = \frac{3x+1}{x}$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$3x+1=0$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
При $x = -\frac{1}{3}$ знаменатель не равен нулю $(-\frac{1}{3} \neq 0)$, поэтому точка пересечения существует. Координаты точки пересечения: $(-\frac{1}{3}; 0)$.

Ответ: пересекает.

в) $x = 3$

Чтобы проверить, пересекается ли график с прямой $x=3$, подставим это значение $x$ в уравнение функции и найдем соответствующее значение $y$ (это возможно, так как $x=3$ входит в область определения функции):
$y = \frac{3(3)+1}{3}$
$y = \frac{9+1}{3}$
$y = \frac{10}{3}$
Поскольку мы получили конкретное значение $y$, существует точка пересечения с координатами $(3; \frac{10}{3})$.

Ответ: пересекает.

г) $y = 3$

Чтобы проверить, пересекается ли график с прямой $y=3$, подставим это значение $y$ в уравнение функции и решим полученное уравнение относительно $x$:
$3 = \frac{3x+1}{x}$
Умножим обе части уравнения на $x$, так как из области определения мы знаем, что $x \neq 0$:
$3x = 3x+1$
$3x - 3x = 1$
$0 = 1$
Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Следовательно, у графика функции и прямой $y=3$ нет общих точек. Прямая $y=3$ является горизонтальной асимптотой для графика функции.

Ответ: не пересекает.