Номер 1141, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1141, страница 257.

1141. Из города по двум взаимно перпендикулярным дорогам вышли в разное время два пешехода. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а второго 5 км/ч. Сейчас первый находится в 7 км от города, а второй — в 10 км. Через сколько часов расстояние между пешеходами будет равно 25 км?

Пусть город находится в начале координат (0,0). Так как дороги взаимно перпендикулярны, мы можем расположить их вдоль осей координат. Пусть первый пешеход движется вдоль оси Ox, а второй — вдоль оси Oy.

Начальные условия (в момент времени $t=0$):

• Скорость первого пешехода: $v_1 = 4$ км/ч.
• Скорость второго пешехода: $v_2 = 5$ км/ч.
• Текущее расстояние первого пешехода от города: $d_{1,0} = 7$ км.
• Текущее расстояние второго пешехода от города: $d_{2,0} = 10$ км.

Пусть $t$ — это время в часах, которое пройдет с текущего момента. Через время $t$ расстояние каждого пешехода от города будет:

• Для первого пешехода: $d_1(t) = d_{1,0} + v_1 \cdot t = 7 + 4t$ км.
• Для второго пешехода: $d_2(t) = d_{2,0} + v_2 \cdot t = 10 + 5t$ км.

Поскольку пешеходы движутся по перпендикулярным дорогам, расстояние между ними $D$ можно найти по теореме Пифагора, где $d_1(t)$ и $d_2(t)$ являются катетами прямоугольного треугольника, а расстояние $D$ — его гипотенузой.

$D^2 = (d_1(t))^2 + (d_2(t))^2$

Мы ищем время $t$, когда расстояние между пешеходами будет равно 25 км. Подставим известные значения в уравнение:

$25^2 = (7 + 4t)^2 + (10 + 5t)^2$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$625 = (49 + 2 \cdot 7 \cdot 4t + 16t^2) + (100 + 2 \cdot 10 \cdot 5t + 25t^2)$

$625 = (49 + 56t + 16t^2) + (100 + 100t + 25t^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$625 = (16t^2 + 25t^2) + (56t + 100t) + (49 + 100)$

$625 = 41t^2 + 156t + 149$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $at^2 + bt + c = 0$:

$41t^2 + 156t + 149 - 625 = 0$

$41t^2 + 156t - 476 = 0$

Найдем дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = 156^2 - 4 \cdot 41 \cdot (-476) = 24336 + 78064 = 102400$

Найдем корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{102400} = 320$

$t_1 = \frac{-156 + 320}{2 \cdot 41} = \frac{164}{82} = 2$

$t_2 = \frac{-156 - 320}{2 \cdot 41} = \frac{-476}{82}$

Так как время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2$ не является решением задачи. Следовательно, искомое время равно 2 часам.

Ответ: через 2 часа.