Номер 1137, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1137, страница 257.

1137. Заготовленную в карьере руду первый самосвал может вывезти на 3 ч быстрее, чем второй. Если треть руды вывезет первый самосвал, а потом оставшуюся часть вывезет второй, то будет затрачено на $7 \frac{1}{3}$ ч больше, чем при одновременной работе обоих самосвалов. За сколько часов может вывезти руду каждый самосвал?

Пусть первый самосвал может вывезти всю руду за $x$ часов.

По условию, первый самосвал выполняет эту работу на 3 часа быстрее, чем второй. Следовательно, второй самосвал может вывезти всю руду за $(x+3)$ часов.

Производительность (скорость работы) первого самосвала составляет $v_1 = \frac{1}{x}$ часть всей работы в час.

Производительность второго самосвала составляет $v_2 = \frac{1}{x+3}$ часть всей работы в час.

Рассмотрим два сценария, описанных в задаче.

1. Последовательная работа.

Сначала первый самосвал вывозит треть руды ($\frac{1}{3}$ всей работы). Время, затраченное на это, равно:$T_1 = \frac{\text{Работа}}{\text{Производительность}} = \frac{1/3}{1/x} = \frac{x}{3}$ часов.

Затем второй самосвал вывозит оставшуюся часть руды ($1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ всей работы). Время, затраченное на это, равно:$T_2 = \frac{2/3}{1/(x+3)} = \frac{2(x+3)}{3}$ часов.

Общее время при последовательной работе:$T_{посл} = T_1 + T_2 = \frac{x}{3} + \frac{2(x+3)}{3} = \frac{x + 2x + 6}{3} = \frac{3x+6}{3} = x+2$ часов.

2. Одновременная работа.

При одновременной работе их общая производительность составляет:$v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{x+3+x}{x(x+3)} = \frac{2x+3}{x(x+3)}$.

Время, за которое они вместе вывезут всю руду:$T_{совм} = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{\frac{2x+3}{x(x+3)}} = \frac{x(x+3)}{2x+3}$ часов.

Составление и решение уравнения.

По условию, при последовательной работе было затрачено на $7\frac{1}{3}$ часа больше, чем при одновременной.$7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$.

Составим уравнение:$T_{посл} = T_{совм} + \frac{22}{3}$$x+2 = \frac{x(x+3)}{2x+3} + \frac{22}{3}$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы избавиться от дробей. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $3(2x+3)$, при условии что $2x+3 \neq 0$, т.е. $x \neq -1.5$. Так как $x$ - время, оно должно быть положительным, поэтому это условие выполняется.

$3(2x+3)(x+2) = 3(2x+3)\frac{x(x+3)}{2x+3} + 3(2x+3)\frac{22}{3}$$3(2x^2 + 4x + 3x + 6) = 3x(x+3) + 22(2x+3)$$3(2x^2 + 7x + 6) = 3x^2 + 9x + 44x + 66$$6x^2 + 21x + 18 = 3x^2 + 53x + 66$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$6x^2 - 3x^2 + 21x - 53x + 18 - 66 = 0$$3x^2 - 32x - 48 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-48) = 1024 + 576 = 1600$$\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 + 40}{2 \cdot 3} = \frac{72}{6} = 12$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 - 40}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Так как время $x$ не может быть отрицательным, корень $x_2 = -\frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию задачи.Следовательно, время, за которое первый самосвал может вывезти всю руду, равно 12 часам.

Время, за которое второй самосвал может вывезти всю руду:$x+3 = 12+3 = 15$ часов.

Ответ: первый самосвал может вывезти руду за 12 часов, а второй — за 15 часов.