Номер 1144, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1144, страница 257.

1144. Постройте график функции, заданной формулой:

а) $y = |x + 2| + |x - 2|;$

б) $y = |x + 1| - |x - 1|.$

Для построения графиков функций, содержащих модули, необходимо раскрыть модули на различных числовых промежутках. Границы промежутков определяются точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль.

а) $y = |x + 2| + |x - 2|$

1. Найдем нули подмодульных выражений:
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $[-2; 2]$ и $(2; +\infty)$. Раскроем модули на каждом из этих интервалов.

2. При $x < -2$:
Оба выражения под модулями отрицательны: $x + 2 < 0$ и $x - 2 < 0$.
Следовательно, $|x + 2| = -(x + 2)$ и $|x - 2| = -(x - 2)$.
Функция принимает вид:
$y = -(x + 2) - (x - 2) = -x - 2 - x + 2 = -2x$.
На этом интервале график функции совпадает с лучом прямой $y = -2x$, исходящим из точки, соответствующей $x = -2$. При $x = -2$, $y = -2(-2) = 4$. Точка $(-2; 4)$.

3. При $-2 \le x \le 2$:
Выражение $x + 2 \ge 0$, а $x - 2 \le 0$.
Следовательно, $|x + 2| = x + 2$ и $|x - 2| = -(x - 2)$.
Функция принимает вид:
$y = (x + 2) - (x - 2) = x + 2 - x + 2 = 4$.
На этом отрезке график функции — это горизонтальный отрезок прямой $y = 4$, соединяющий точки с абсциссами $-2$ и $2$. Координаты концов отрезка: $(-2; 4)$ и $(2; 4)$.

4. При $x > 2$:
Оба выражения под модулями положительны: $x + 2 > 0$ и $x - 2 > 0$.
Следовательно, $|x + 2| = x + 2$ и $|x - 2| = x - 2$.
Функция принимает вид:
$y = (x + 2) + (x - 2) = 2x$.
На этом интервале график функции совпадает с лучом прямой $y = 2x$, исходящим из точки, соответствующей $x = 2$. При $x = 2$, $y = 2(2) = 4$. Точка $(2; 4)$.

5. Для построения графика строим лучи и отрезок на координатной плоскости.
- Для $x \le -2$ строим часть прямой $y = -2x$. Например, точки $(-2, 4)$ и $(-3, 6)$.
- Для $-2 \le x \le 2$ строим отрезок $y = 4$.
- Для $x \ge 2$ строим часть прямой $y = 2x$. Например, точки $(2, 4)$ и $(3, 6)$.

Ответ: График функции $y = |x + 2| + |x - 2|$ состоит из трех частей: луча $y = -2x$ при $x \in (-\infty, -2]$, отрезка $y = 4$ при $x \in [-2, 2]$ и луча $y = 2x$ при $x \in [2, +\infty)$.

---

б) $y = |x + 1| - |x - 1|$

1. Найдем нули подмодульных выражений:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $[-1; 1]$ и $(1; +\infty)$. Раскроем модули на каждом из этих интервалов.

2. При $x < -1$:
Оба выражения под модулями отрицательны: $x + 1 < 0$ и $x - 1 < 0$.
Следовательно, $|x + 1| = -(x + 1)$ и $|x - 1| = -(x - 1)$.
Функция принимает вид:
$y = -(x + 1) - (-(x - 1)) = -x - 1 + x - 1 = -2$.
На этом интервале график функции — это луч горизонтальной прямой $y = -2$ левее точки с абсциссой $x = -1$.

3. При $-1 \le x \le 1$:
Выражение $x + 1 \ge 0$, а $x - 1 \le 0$.
Следовательно, $|x + 1| = x + 1$ и $|x - 1| = -(x - 1)$.
Функция принимает вид:
$y = (x + 1) - (-(x - 1)) = x + 1 + x - 1 = 2x$.
На этом отрезке график функции — это отрезок прямой $y = 2x$. Найдем значения на концах отрезка: при $x = -1$, $y = 2(-1) = -2$; при $x = 1$, $y = 2(1) = 2$. Отрезок соединяет точки $(-1; -2)$ и $(1; 2)$.

4. При $x > 1$:
Оба выражения под модулями положительны: $x + 1 > 0$ и $x - 1 > 0$.
Следовательно, $|x + 1| = x + 1$ и $|x - 1| = x - 1$.
Функция принимает вид:
$y = (x + 1) - (x - 1) = x + 1 - x + 1 = 2$.
На этом интервале график функции — это луч горизонтальной прямой $y = 2$ правее точки с абсциссой $x = 1$.

5. Для построения графика строим лучи и отрезок на координатной плоскости.
- Для $x \le -1$ строим луч $y = -2$.
- Для $-1 \le x \le 1$ строим отрезок прямой $y = 2x$, соединяющий точки $(-1, -2)$ и $(1, 2)$.
- Для $x \ge 1$ строим луч $y = 2$.

Ответ: График функции $y = |x + 1| - |x - 1|$ состоит из трех частей: луча $y = -2$ при $x \in (-\infty, -1]$, отрезка прямой $y = 2x$ при $x \in [-1, 1]$ и луча $y = 2$ при $x \in [1, +\infty)$.