Номер 1145, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1145, страница 257.

1145. Постройте график функции, заданной формулой $y = x + \frac{1}{x}$.

Для построения графика функции $y = x + \frac{1}{x}$ проведем ее полное исследование.

1. Область определения функции.

Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль. В данном случае знаменатель равен $x$, поэтому $x \neq 0$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

Проверим функцию на четность. Для этого найдем $y(-x)$:$y(-x) = (-x) + \frac{1}{-x} = -x - \frac{1}{x} = -(x + \frac{1}{x}) = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат (точки (0,0)). Поэтому достаточно исследовать функцию для $x > 0$ и затем отразить полученную часть графика симметрично относительно начала координат.

3. Асимптоты.

Вертикальная асимптота:
Поскольку функция не определена в точке $x=0$, исследуем ее поведение вблизи этой точки.$\lim_{x \to 0^+} (x + \frac{1}{x}) = 0 + (+\infty) = +\infty$
$\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{1}{x}) = 0 + (-\infty) = -\infty$
Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота:
Ищем асимптоту в виде $y = kx + b$.$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 1/x}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{1}{x^2}) = 1$.
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (x + \frac{1}{x} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$.
Таким образом, прямая $y = x$ является наклонной асимптотой для графика функции при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.

4. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy:
График не пересекает ось Oy, так как $x \neq 0$.

С осью Ox:
Найдем точки, где $y=0$:$x + \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{x^2+1}{x} = 0$.
Это уравнение эквивалентно $x^2 + 1 = 0$ при условии $x \neq 0$. Уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную функции:$y' = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$y' = 0 \implies \frac{x^2 - 1}{x^2} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = 1$ и $x = -1$.
Точка $x=0$ также является точкой, где производная не существует, но она не входит в область определения.
Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

• При $x \in (-\infty, -1)$ (например, $x=-2$): $y'(-2) = \frac{(-2)^2-1}{(-2)^2} > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1, 0)$ (например, $x=-0.5$): $y'(-0.5) = \frac{(-0.5)^2-1}{(-0.5)^2} < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0, 1)$ (например, $x=0.5$): $y'(0.5) = \frac{0.5^2-1}{0.5^2} < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1, +\infty)$ (например, $x=2$): $y'(2) = \frac{2^2-1}{2^2} > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2$. Точка максимума: $(-1, -2)$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$. Точка минимума: $(1, 2)$.

6. Построение графика.

Соберем данные для построения в таблицу:

$x$	-2	-1	-0.5	-0.25	0.25	0.5	1	2
$y = x + \frac{1}{x}$	-2.5	-2	-2.5	-4.25	4.25	2.5	2	2.5

На основе проведенного анализа и таблицы значений строим график.

1. Чертим оси координат и наносим разметку.
2. Чертим асимптоты: вертикальную $x=0$ (ось Oy) и наклонную $y=x$.
3. Отмечаем точки экстремумов: локальный максимум $(-1, -2)$ и локальный минимум $(1, 2)$.
4. Соединяем точки плавными линиями, учитывая, что график состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Одна ветвь находится в первом квадранте, проходит через точку минимума $(1, 2)$ и приближается к асимптотам $x=0$ и $y=x$. Вторая ветвь находится в третьем квадранте, проходит через точку максимума $(-1, -2)$ и также приближается к асимптотам $x=0$ и $y=x$.

Ответ:
График функции $y = x + \frac{1}{x}$ представляет собой гиперболу, состоящую из двух ветвей. Ключевые свойства и итоговый вид графика представлены ниже.

• График симметричен относительно начала координат (функция нечетная).
• Имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy) и наклонную асимптоту $y=x$.
• Не пересекает оси координат.
• Одна ветвь расположена в первой координатной четверти, имеет точку локального минимума $(1, 2)$.
• Вторая ветвь расположена в третьей координатной четверти, имеет точку локального максимума $(-1, -2)$.