Номер 1151, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1151, страница 258.

1151. Докажите, что если числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $a + b \neq 0$, $b + c \neq 0$, $c + a \neq 0$, то при

$x = \frac{a-b}{a+b}$, $y = \frac{b-c}{b+c}$, $z = \frac{c-a}{c+a}$

верно равенство

$(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$.

Для доказательства данного равенства преобразуем его левую и правую части по отдельности, используя данные в условии выражения для $x$, $y$ и $z$. Условия $a+b \neq 0$, $b+c \neq 0$, $c+a \neq 0$ гарантируют, что знаменатели в выражениях для $x, y, z$ не равны нулю.

Преобразование левой части равенства: $(1 + x)(1 + y)(1 + z)$

Сначала вычислим каждый множитель:

$1 + x = 1 + \frac{a - b}{a + b} = \frac{a + b + a - b}{a + b} = \frac{2a}{a + b}$

$1 + y = 1 + \frac{b - c}{b + c} = \frac{b + c + b - c}{b + c} = \frac{2b}{b + c}$

$1 + z = 1 + \frac{c - a}{c + a} = \frac{c + a + c - a}{c + a} = \frac{2c}{c + a}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$(1 + x)(1 + y)(1 + z) = \frac{2a}{a + b} \cdot \frac{2b}{b + c} \cdot \frac{2c}{c + a} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

Преобразование правой части равенства: $(1 - x)(1 - y)(1 - z)$

Аналогично вычислим каждый множитель:

$1 - x = 1 - \frac{a - b}{a + b} = \frac{a + b - (a - b)}{a + b} = \frac{a + b - a + b}{a + b} = \frac{2b}{a + b}$

$1 - y = 1 - \frac{b - c}{b + c} = \frac{b + c - (b - c)}{b + c} = \frac{b + c - b + c}{b + c} = \frac{2c}{b + c}$

$1 - z = 1 - \frac{c - a}{c + a} = \frac{c + a - (c - a)}{c + a} = \frac{c + a - c + a}{c + a} = \frac{2a}{c + a}$

Перемножим полученные дроби:

$(1 - x)(1 - y)(1 - z) = \frac{2b}{a + b} \cdot \frac{2c}{b + c} \cdot \frac{2a}{c + a} = \frac{8bca}{(a + b)(b + c)(c + a)} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

Сравнение результатов

В результате преобразований мы получили, что левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению:

$\frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

Следовательно, равенство $(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$ верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано путем алгебраических преобразований левой и правой частей, которые приводятся к одному и тому же виду.