Страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1149. Докажите, что графиком уравнения $ (y - 2)(y + 3) = 0 $ является пара параллельных прямых.

Исходное уравнение — $(y - 2)(y + 3) = 0$.

Согласно свойству произведения, равного нулю, данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$y - 2 = 0$ или $y + 3 = 0$.

Решим каждое из этих линейных уравнений:

1) Из уравнения $y - 2 = 0$ следует, что $y = 2$.

2) Из уравнения $y + 3 = 0$ следует, что $y = -3$.

Таким образом, множество точек, удовлетворяющих исходному уравнению, является объединением множеств точек, удовлетворяющих уравнениям $y = 2$ и $y = -3$.

Каждое из этих уравнений задает прямую на координатной плоскости:

• $y = 2$ — это уравнение горизонтальной прямой, все точки которой имеют ординату, равную 2. Эта прямая параллельна оси абсцисс (Ox).
• $y = -3$ — это уравнение горизонтальной прямой, все точки которой имеют ординату, равную -3. Эта прямая также параллельна оси абсцисс (Ox).

Две прямые, параллельные третьей прямой (в данном случае оси Ox), параллельны между собой. Поскольку прямые $y=2$ и $y=-3$ не совпадают (так как $2 \neq -3$), они являются парой различных параллельных прямых.

Следовательно, график уравнения $(y - 2)(y + 3) = 0$ состоит из двух параллельных прямых, что и требовалось доказать.

Ответ: Уравнение $(y - 2)(y + 3) = 0$ распадается на два уравнения: $y=2$ и $y=-3$. Каждое из этих уравнений задает прямую, параллельную оси Ox. Так как эти прямые не совпадают, их совокупность представляет собой пару параллельных прямых.

1150. Постройте график уравнения:

а) $xy + 3x = 0;$

б) $(x - y)(y - 5) = 0;$

в) $(xy - 6)(y - 3) = 0;$

г) $(x - y)^2 + (x - 1)^2 = 0;$

д) $x^2 - 4 = 0;$

е) $y^2 - 9 = 0.$

а) $xy + 3x = 0$

Для построения графика преобразуем данное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(y + 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x = 0$ или $y + 3 = 0$

Из второго уравнения получаем $y = -3$.

Таким образом, график исходного уравнения состоит из двух прямых:

1. $x = 0$ — это уравнение оси ординат (оси OY).

2. $y = -3$ — это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси абсцисс (оси OX) и проходящей через точку $(0, -3)$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух прямых: оси ординат ($x=0$) и горизонтальной прямой $y=-3$.

б) $(x - y)(y - 5) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - y = 0$ или $y - 5 = 0$

Преобразуем каждое уравнение:

1. $x - y = 0 \implies y = x$. Это уравнение прямой, являющейся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

2. $y - 5 = 0 \implies y = 5$. Это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси OX и проходящей через точку $(0, 5)$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух прямых: $y=x$ и $y=5$.

в) $(xy - 6)(y - 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$xy - 6 = 0$ или $y - 3 = 0$

Рассмотрим каждое уравнение:

1. $xy - 6 = 0 \implies xy = 6 \implies y = \frac{6}{x}$. Это уравнение гиперболы с ветвями в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптотами гиперболы являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

2. $y - 3 = 0 \implies y = 3$. Это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси OX и проходящей через точку $(0, 3)$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение гиперболы $y = \frac{6}{x}$ и горизонтальной прямой $y=3$.

г) $(x - y)^2 + (x - 1)^2 = 0$

В левой части уравнения стоит сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x - y)^2 \ge 0$ и $(x - 1)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$\begin{cases} (x - y)^2 = 0 \\ (x - 1)^2 = 0 \end{cases}$

Извлекая квадратный корень из обоих частей каждого уравнения, получаем:

$\begin{cases} x - y = 0 \\ x - 1 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $x = 1$. Подставляя это значение в первое уравнение, получаем $1 - y = 0$, откуда $y = 1$.

Система имеет единственное решение: $x=1, y=1$.

Ответ: Графиком уравнения является одна точка с координатами $(1, 1)$.

д) $x^2 - 4 = 0$

Это уравнение зависит только от переменной $x$. Решим его:

$x^2 = 4$

$x = \sqrt{4}$ или $x = -\sqrt{4}$

$x = 2$ или $x = -2$

Данное уравнение можно также разложить на множители по формуле разности квадратов: $(x-2)(x+2)=0$.

Каждое из уравнений $x=2$ и $x=-2$ задает на координатной плоскости вертикальную прямую, параллельную оси OY. Переменная $y$ может принимать любое значение.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух вертикальных прямых: $x=2$ и $x=-2$.

е) $y^2 - 9 = 0$

Это уравнение зависит только от переменной $y$. Решим его:

$y^2 = 9$

$y = \sqrt{9}$ или $y = -\sqrt{9}$

$y = 3$ или $y = -3$

Данное уравнение можно также разложить на множители: $(y-3)(y+3)=0$.

Каждое из уравнений $y=3$ и $y=-3$ задает на координатной плоскости горизонтальную прямую, параллельную оси OX. Переменная $x$ может принимать любое значение.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух горизонтальных прямых: $y=3$ и $y=-3$.

1151. Докажите, что если числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $a + b \neq 0$, $b + c \neq 0$, $c + a \neq 0$, то при

$x = \frac{a-b}{a+b}$, $y = \frac{b-c}{b+c}$, $z = \frac{c-a}{c+a}$

верно равенство

$(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$.

Для доказательства данного равенства преобразуем его левую и правую части по отдельности, используя данные в условии выражения для $x$, $y$ и $z$. Условия $a+b \neq 0$, $b+c \neq 0$, $c+a \neq 0$ гарантируют, что знаменатели в выражениях для $x, y, z$ не равны нулю.

Преобразование левой части равенства: $(1 + x)(1 + y)(1 + z)$

Сначала вычислим каждый множитель:

$1 + x = 1 + \frac{a - b}{a + b} = \frac{a + b + a - b}{a + b} = \frac{2a}{a + b}$

$1 + y = 1 + \frac{b - c}{b + c} = \frac{b + c + b - c}{b + c} = \frac{2b}{b + c}$

$1 + z = 1 + \frac{c - a}{c + a} = \frac{c + a + c - a}{c + a} = \frac{2c}{c + a}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$(1 + x)(1 + y)(1 + z) = \frac{2a}{a + b} \cdot \frac{2b}{b + c} \cdot \frac{2c}{c + a} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

Преобразование правой части равенства: $(1 - x)(1 - y)(1 - z)$

Аналогично вычислим каждый множитель:

$1 - x = 1 - \frac{a - b}{a + b} = \frac{a + b - (a - b)}{a + b} = \frac{a + b - a + b}{a + b} = \frac{2b}{a + b}$

$1 - y = 1 - \frac{b - c}{b + c} = \frac{b + c - (b - c)}{b + c} = \frac{b + c - b + c}{b + c} = \frac{2c}{b + c}$

$1 - z = 1 - \frac{c - a}{c + a} = \frac{c + a - (c - a)}{c + a} = \frac{c + a - c + a}{c + a} = \frac{2a}{c + a}$

Перемножим полученные дроби:

$(1 - x)(1 - y)(1 - z) = \frac{2b}{a + b} \cdot \frac{2c}{b + c} \cdot \frac{2a}{c + a} = \frac{8bca}{(a + b)(b + c)(c + a)} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

Сравнение результатов

В результате преобразований мы получили, что левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению:

$\frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

Следовательно, равенство $(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$ верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано путем алгебраических преобразований левой и правой частей, которые приводятся к одному и тому же виду.

1152. На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько точек отмечено на плоскости, если известно, что всего проведено 45 прямых?

Пусть $n$ — это количество отмеченных на плоскости точек.

По условию задачи, никакие три точки не лежат на одной прямой. Это означает, что каждая пара точек однозначно определяет одну прямую. Таким образом, количество проведенных прямых равно количеству способов выбрать 2 точки из $n$ имеющихся точек.

Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по 2. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае мы выбираем пары точек, поэтому $k=2$. Формула для числа прямых упрощается:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Из условия известно, что всего проведено 45 прямых. Мы можем составить и решить уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 45$

Для решения этого уравнения умножим обе части на 2:

$n(n-1) = 90$

Мы получили квадратное уравнение. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$n^2 - n - 90 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант. Для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-(-1) + 19}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{-(-1) - 19}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку $n$ представляет собой количество точек, оно не может быть отрицательным числом. Следовательно, корень $n_2 = -9$ не является решением задачи. Единственное подходящее решение — $n = 10$.

Выполним проверку: если на плоскости отмечено 10 точек, то число прямых, которые можно через них провести, равно $\frac{10 \cdot (10-1)}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$. Это полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 10 точек.

1153. Докажите тождество

$\sqrt{\frac{a^2 + 6ab + 25b^2}{a - 2\sqrt{ab} + 5b}} - 4b = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение имеет смысл при $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Знаменатель дроби $a - 2\sqrt{ab} + 5b$ не должен быть равен нулю. Преобразуем его, выделив полный квадрат:$a - 2\sqrt{ab} + 5b = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 + 4b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + 4b$.Так как $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ и $4b \ge 0$ (по ОДЗ), их сумма равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю. Это происходит при $b=0$ и $\sqrt{a}=\sqrt{b}$, что означает $a=0$. Таким образом, знаменатель обращается в ноль только при $a=b=0$, и в этой точке исходное выражение не определено. При всех остальных допустимых значениях $a$ и $b$ знаменатель строго больше нуля.

Теперь преобразуем выражение под внешним корнем в левой части тождества. Приведем его к общему знаменателю:$$ \frac{a^2 + 6ab + 25b^2}{a - 2\sqrt{ab} + 5b} - 4b = \frac{a^2 + 6ab + 25b^2 - 4b(a - 2\sqrt{ab} + 5b)}{a - 2\sqrt{ab} + 5b} $$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:$$ a^2 + 6ab + 25b^2 - 4ab + 8b\sqrt{ab} - 20b^2 = a^2 + (6ab - 4ab) + (25b^2 - 20b^2) + 8b\sqrt{ab} = a^2 + 2ab + 5b^2 + 8b\sqrt{ab} $$

Таким образом, левая часть тождества принимает вид:$$ \sqrt{\frac{a^2 + 2ab + 5b^2 + 8b\sqrt{ab}}{a - 2\sqrt{ab} + 5b}} $$

Покажем, что числитель полученной дроби можно разложить на множители. Проверим, является ли он произведением знаменателя $(a - 2\sqrt{ab} + 5b)$ и выражения $(a + 2\sqrt{ab} + b)$, которое равно квадрату правой части исходного тождества $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$.Выполним проверку умножением:$$ (a - 2\sqrt{ab} + 5b)(a + 2\sqrt{ab} + b) = a(a + 2\sqrt{ab} + b) - 2\sqrt{ab}(a + 2\sqrt{ab} + b) + 5b(a + 2\sqrt{ab} + b) $$$$ = a^2 + 2a\sqrt{ab} + ab - 2a\sqrt{ab} - 4ab - 2b\sqrt{ab} + 5ab + 10b\sqrt{ab} + 5b^2 $$Приведем подобные слагаемые:$$ = a^2 + (ab - 4ab + 5ab) + (2a\sqrt{ab} - 2a\sqrt{ab}) + (10b\sqrt{ab} - 2b\sqrt{ab}) + 5b^2 $$$$ = a^2 + 2ab + 8b\sqrt{ab} + 5b^2 $$Результат совпадает с полученным ранее числителем. Таким образом, подкоренное выражение можно переписать как:$$ \frac{(a + 2\sqrt{ab} + b)(a - 2\sqrt{ab} + 5b)}{a - 2\sqrt{ab} + 5b} $$

Так как знаменатель $a - 2\sqrt{ab} + 5b > 0$ при допустимых значениях $a$ и $b$ (не равных нулю одновременно), мы можем сократить дробь:$$ a + 2\sqrt{ab} + b $$

Это выражение является формулой полного квадрата суммы:$$ a + 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 $$

Возвращаясь к левой части исходного тождества, имеем:$$ \sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} $$

Поскольку по ОДЗ $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$, а значит, их сумма $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ge 0$. Следовательно:$$ \sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = |\sqrt{a} + \sqrt{b}| = \sqrt{a} + \sqrt{b} $$

Мы показали, что левая часть тождества равна его правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.